Topologie des espaces métriques

Semestre d'automne 2024-2025

Équipe pédagogique

Cours: Lorenzo Brandolese, Travaux dirigés : Pierre Lavaurs (groupe A), Thomas Blossier (groupe B), Hamza Si Kaddour (groupe C).

Ressources pédagogiques

Informations pratiques

Emploi du temps
Modalité de contrôle des connaissances et de compétence

Programme

  1. Espaces topologiques
    1. Topologies sur un ensemble. Définition, premiers exemples.
    2. Espaces métriques. Distances, boules, sphères, ouverts métriques. Topologie issue d'une distance.
    3. Espaces séparés. Singletons.
    4. Espaces normés. Rappels sur les normes classiques de R^n. Distance issue d'une norme
    5. Intérieur et adhérence. Exemples. Réunion, intersection, complémentaire.
    6. Voisinages. Caractérisation de l'intérieur et de l'adhérence.
    7. Suites. Notion de convergence. Unicité de la limite dans un espace topologique séparé.
    8. Suites dans un espace métrique. Caractérisation de l'adhérence.
    9. Comparaison de topologie et des distances. Distances topologiquement équivalentes et Lipschitz-équivalentes.
    10. Prébases et bases d'une topologie.
    11. Espaces produit. Produit finis d'espaces métriques et distance-infinie. Convergence d'une suite dans un espace produit.
    12. Sous-espaces métriques. Distance et topologie induite.
    13. Partie denses. Espaces métriques séparables
  2. Continuité
    1. Fonctions continues. Retour sur la définition topologique. Caractérisation de la continuité dans un espace métrique. Fonctions lipschitzienne entre espaces métriques.
    2. Applications linéaires entre e.v.n.. Critères de continuité. L'espace L(E,F).
    3. Continuité des applications multilinéaires.
    4. Propriétés de fonctions continues. Composition. Espace produits et continuité des projections. Somme, produit de fonctions continues.
    5. Continuité de la fonction distance.
    6. Homéomorphismes et isométries.
  3. Espaces complets
    1. Suites de Cauchy
    2. Complétude et fermés. Complétude d'espaces produits.
    3. Exemples d'espaces complets. L'espace des fonctions bornées, et continues-bornées. Complétude de L(E,F). L'espace des suites réelles bornées.
    4. Séries dans un e.v.n.. Inversibilité dans L(E).
    5. Théorème des contractions. Applications.
    6. Continuité uniforme. Prolongement d'une application uniformément continue.
  4. Compacts
    1. Compacité et compacité séquentielle. Théorème de Borel-Lebesgue.
    2. Propriétés des espaces compacts. Compacts et fermés. Compacts et espaces produits.
    3. Compacité dans R^n. Bolzano-Weierstrass. Caractérisation des fermés-bornés de R^n.
    4. Fonctions continues sur un compacts. Théorème de Weierstrass et ses variantes. Théorème de Heine.
    5. Compacité dans un e.v.n. de dimension finie. Équivalence des normes. Théorème de la meilleure approximation.
  5. Connexité
    1. Définition. Adhérence d'un connexe. Réunions de connexes.
    2. Composantes connexes. Produit de connexes.
    3. Connexes de R. Intervalles. Caractérisation des ouverts de R.
    4. Convexes et étoilés dans un e.v.n.
    5. Connexes par arcs.
  6. Compléments
    1. Complété d'un espace métrique.
    2. Le théorème d'Ascoli.

Avancement TD

Avancement du cours

  1. 6 septembre (3h). Motivations. Définition de topologie. Exemples : topologie euclidienne de Rn, discrète, chaotique, co-finie (laissée en exercice). Exercice : dans un espace topologique l'intersection de fermés est fermée et la réunion finie de fermés est fermée. Définition de distance. Exemples : distance euclidienne sur R^n, distance discrète. Boules. Définition d'ouvert et fermé dans un espace métrique. Exemple : construction de la boule centrée en 2 et de rayon 1/2, d'abord dans R et ensuite dans l'espace métrique [2,3]. Les boules sont ouvertes. Exercice : les boules “avec inégalité large” sont fermées. Construction de la topologie métrique. La distance discrète induit la topologie discrète. Espaces topologiques séparés. Exemples : la topologie métrique est séparée. La topologie chaotique n'est pas séparée. Dans un espace séparé les singletons sont fermés. Définition de norme. Exemple: norme euclidienne sur Rn. Exercice : la norme-infini et la norme-1 sur l'espace C([a,b],R) vérifient les axiomes de norme. Construction de la distance issue d'une norme. Définition d'intérieur et d'adhérence. Complémentaire de l'intérieur/adhérence. Intérieur et adhérence d'une réunion et intersection de deux ensembles.
  2. 13 septembre (3h). Voisinages. x appartient à l'adhérence de A si et seulement si tout voisinage de x intersecte A. Suites. Sous-suites. Convergence (définition avec les voisinages). Unicité de la limite. Suites dans un espace métrique. Dans un espace métrique x appartient à l'adhérence de A si et seulement si existe une suite de A convergente vers x. Corollaire : critère pour qu'une partie d'un espace métrique soit fermée utilisant les suites. Définition de distances topologiquement équivalentes. C.n.s pour que deux distances soient topologiquement équivalentes utilisant les suites. Exemple : dans R, (x,y)→ |e^x-e^y| définit une distance topologiquement équivalente à la distance euclidienne. C.n.s. pour que deux distances soient topologiquement équivalentes utilisant les boules emboîtées. Définition de distances Lipschitz-équivalentes. Distances Lipschitz équivalentes implique distances topologiquement équivalentes. Sous espaces métriques. Caractérisation des ouverts et des fermés dans un sous-espace métrique. Exemple d'un espace métrique (une réunion de deux intervalles disjoints) possédant des parties non triviales simultanément ouvertes et fermées. Notion de partie dense d'un espace métrique. Notion d'espace métrique séparable. Un sous-espace d'un espace métrique séparable est séparable (démonstration hors programme). Critère de non-séparabilité et exemple d'un espace métrique non séparable. Produit fini d'espaces métriques et distance-infinie. Convergence dans un produit fini d'espaces métriques. Boule dans un produit pour la distance-infinie comme produit de boules. Le produit d'ouverts/fermés est ouvert/fermé. Inégalité de Young, de Holder et de Minkowski. La norme-p dans Rn et espaces de suite lp.
  3. 20 septembre (3h). Le produit fini d'espace séparable est séparable (démonstration laissée en exercice). Compléments au chapitre 1: les définitions suivantes ont été données sans commentaires particuliers : partie bornée d'un espace métrique (définition avec une boule).Point d'accumulation. Inégalité de Young, de Holder et de Minkowski. La norme-p dans Rn et espaces de suites lp. Chapitre 2 : Fonctions continues en un point entre espaces métriques : définition avec les voisinages. Caractérisation de la continuité en un point avec epsilon/delta. Caractérisation de la continuité en un point avec les suites. f est continue en tout point si et seulement si l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert. Continuité et image réciproque de fermés. Fonctions lipschitziennes. Lipschitzienne implique continue. Limites d'une fonction en un point dans l'adhérence de l'ensemble de définition. Caractérisation séquentielle de la limite en un point. Critère de continuité des applications linéaires. L'espace L(E,F) des applications linéaires continues. Norme subordonnée d'une application linéaire. Exemple de calcul d'une norme subordonnée. Exemple d'application linéaire discontinue (l'application de dérivation). Deux normes sont topologiquement équivalentes si et seulement si elles sont Lipschitz équivalentes. Continuité des applications bilinéaires et multilinéaires.
  4. 27 septembre (3h). Opérations avec les fonctions continues. Continuité des fonctions à valeurs dans un produit. Fonctions continues définies sur un produit d'espaces métriques : si on fixe une variable on obtient une fonction continue des autres variables. Continuité de la somme/du produit de deux fonctions à valeur dans un e.v.n/dans R. La distance est une application lipschitzienne de X x X dans R. Isométries. Injectivité d'une isométrie. Espaces métriques isométriques. Exercice (non résolu) : C([a,b],R) et C([0,1],R) sont isométriques. Homéomorphismes. Exemple d'une fonction continue et bijective (entre un intervalle semi-ouvert et le cercle) avec inverse discontinue. Exercice (non résolu): un carré est homéomorphe à un disque. Propriétés topologiques et exemples (séparabilité, métrisabilité). Chapitre 3. Suites de Cauchy. Toute suite convergente est de Cauchy. Valeurs d'adhérence. Toute suite de Cauchy avec une valeur d'adhérence converge vers cette valeur. Toute suite de Cauchy est bornée. Exemple d'une suite de Cauchy divergente dans l'intervalle (0,1]. Espaces complets. R est complet. Le produit fini d'espaces complets est complet. L'espace métrique des fonctions bornées B(X,Y) avec la distance du sup. Si Y est complet alors B(X,Y) est complet. L'espace des suites bornée est complet avec la norme du sup. Convergence uniforme d'une suite de fonctions entre deux espaces métriques.
  5. 4 octobre (3h). L'espace métrique des fonctions continues et bornées C_b(X,Y) avec la distance du sup et démonstration de sa complétude lorsque Y est complet. Espaces de Banach. Exemples : R^n, C([a,b],R). L'espace des applications linéaires et continues à valeur dans un Banach est un Banach pour la norme subordonnée. Le dual topologique d'un e.v.n. est un Banach. Définition de série convergente et de série normalement convergente dans un espace vectoriel normé. Dans un Banach, toute série normalement convergente est convergente. Endomorphismes et exponentiel d'un endomorphisme. Si E est un espace de Banach et si T:E→E est une application linéaire continue de E dans E de norme subordonnée strictement inférieure à 1, alors I-T est inversible. Applications aux matrices. Norme subordonnée d'une matrice. Formule de l'inverse de la matrice I-M. Définition de l'exponentielle d'une matrice réelle carrée. Contractions et théorème de point fixe. Exemple d'une fonction contractante dans C([0,1],R). Continuité uniforme. Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. L'image d'une suite de Cauchy par une fonction uniformément continue est de Cauchy. Théorème de prolongement d'une application uniformément continue définie sur une partie dense. Théorème de prolongement d'une application linéaire continue définie sur un sous-espace dense.
  6. 11 octobre (3h). Chapitre 4. Recouvrements ouverts. Constante de Lebesgue d'un recouvrement. Théorème de Bolzano Weierstrass (non démontré, mais démonstration en L2) Séquentiellement compact implique l'existence d'une constante de Lebesgue d'un recouvrement. Séquentiellement compact implique pré-compact. Un espace métrique est compact si et seulement s'il est séquentiellement compact. Compact implique complet, fermé, borné et séparable. Un fermé dans un compact est compact. Le produit fini de compacts est compact. Dans Rn les compacts sont exactement les fermés-bornés. L'image d'un compact par une fonction continue est compact. Tout compact de R possède min et max. Théorème de Weierstrass. Toute fonction continue possédant un ensemble de sous-niveau compact possède un minimum. Toute fonction continue et coercive sur Rn possède un minimum. Théorème de Heine. Dans Rn toutes les normes sont équivalentes. Dans un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont équivalentes.
  7. 18 octobre (3h). Toute application linéaire définie sur un espace vectoriel normé de dimension finie est continue. Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, les parties fermées et bornées sont compactes. Un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normée est une partie fermée et complète. Meilleure approximation : si A est une partie fermée d'un espace vectoriel normé et si A est contenue dans un sous-espace vectoriel de dimension finie, alors tout élément de E admet un élément de A qui réalise la plus courte distance. Théorème de Riesz : dans tout espace vectoriel normé de dimension infinie, les boules fermées ne sont pas compactes. Chapitre 5. Espaces métriques connexes. Dans un connexe, les seules parties simultanément ouvertes et fermées sont l'ensemble vide et l'espace entier. Un espace est connexe si et seulement si toute fonction continue à valeurs dans {0,1} est constante. Si A est connexe et A est contenu dans B, qui est contenu dans l'adhérence de A, alors B est connexe. La réunion de connexes qui intersectent un connexe est connexe. Composantes connexes : elles sont connexes, fermée, disjointes si distinctes, ouvertes si en nombre fini. L'image d'un connexe par une fonction continue est connexe. Le produit fini de connexes est connexe. Dans R, une partie est connexe si et seulement si est un intervalle. Tout ouvert de R est réunion dénombrable d'intervalles ouverts. Segments dans un espace vectoriel normé. Ensembles étoilés. Les étoilés sont connexes.
  8. 8 novembre (3h). Espaces connexes par arcs. Les expaces connexes par arcs sont connexes. Les étoilés sont connexes par arcs. Composantes connexes par arcs. Exercice (seulement l'indication) : un exemple d'un connexe non connexe par arcs. Dans un e.v.n. les ouverts connexes sont connexes par arcs. Chapitre 6 (compléments).. Produit dénombrable d'espaces métriques et construction d'une “distance produit” (une suite converge dans le produit si et seulement si elle converge composante par composante). Exercice (seulement l'indication) : le produit dénombrable d'ouverts n'est pas toujours un ouvert. Le produit dénombrable d'espaces métriques compacts est compact. Parties relativement compactes. Dans un e.v.n de dimension finie les relativement compacts sont les bornés. Une partie A est relativement compacte si et seulement si toute suite de A admet une valeur d'adhérence dans X. Partie équicontinues. Si X est compact et A est une partie de C(X,Y) équicontinue alors A est uniformément équicontinues. Si X est compact, Y est complet et (fn) est une suite équicontinue de fonctions simplement simplement convergente sur une partie dense, alors (fn) converge uniformément. Théorème d'Ascoli : énoncé et commentaires. Démonstration.