Cours : Simon Masnou
TD :
TP :
Note finale = max(CT, 0.49*CP+0.51*CT) (NB : les coefficients 0.49 et 0.51 sont dus à l'obligation imposée par l'administration de Lyon 1 de prendre des coefficients différents)
Il existe de nombreux ouvrages couvrant le programme du cours qu’on pourra trouver à la bibliothèque de l’université Lyon 1, parmi lesquels :
Si on préfère les documents accessibles en ligne, on pourra consulter :
6 septembre (3h) Chapitre I : Dualité en dimension finie On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie, avec K=R ou C. Définition du dual E*, justification de dim E*=dim E. Base duale associée à une base de E : définition e_i*(e_k)=delta_i^k à l'aide du symbole de Kronecker, preuve que c'est bien une base de E*, caractérisation de chaque élément de la base duale comme projection sur un axe de coordonnées dans E. Coefficients de la décomposition dans la base duale d'un élément de E*. Détermination matricielle d’une base duale (à partir d’une base de référence). On utilise la convention suivante : si u est linéaire de E dans F munis des bases B et B', on note Mat_B’ , B (u) la matrice de l’application relativement à ces bases. Base antéduale : définition, théorème d’existence et d’unicité. Bidual, isomorphisme canonique entre E et son bidual, introduction du crochet de dualité.
Chapitre II : Formes bilinéaires, formes quadratiques 1) Formes bilinéaires a) Définitions : forme bilinéaire, forme bilinéaire symétrique, antisymétrique, alternée. Exemples (y compris en dimension infinie) Remarque sur le fait qu’on s’intéressera surtout aux formes symétriques car elles sont naturellement associées aux formes quadratiques. Applications linéaires (à gauche et à droite) associées à une forme bilinéaire. Application linéaire canonique dans le cas symétrique
13 septembre (3h) b) Représentation matricielle d'une forme bilinéaire dans une base e donnée. Lien avec la matrice de l'application linéaire associée dans les bases e et e* (base duale de e). Une forme bilinéaire est symétrique ssi sa matrice dans une base quelconque est symétrique. c) Changement de base pour les formes bilinéaires. Les matrices liées par la formule M'=P^t M P où P est une matrice de changement de base sont dites congruentes. Comparaison avec le changement de base pour les applications linéaires. d) Rang et noyau d’une forme bilinéaire symétrique définis à partir de l’application linéaire canonique associée. Le rang est aussi celui de la matrice de la forme bilinéaire. Notion de formes bilinéaires non dégénérées / dégénérées. Exemples.
e) Orthogonalité : vecteurs orthogonaux, orthogonal d’une partie, parties orthogonales, vecteurs isotropes Cône isotrope. Remarque sur la structure de cône. Il contient le noyau. Exemples où il le contient strictement. L’orthogonal d’une partie A coïncide avec l’orthogonal de Vect(A). L’orthogonal de E est le noyau de la forme bilinéaire et rang(phi)=dim E - dim E^orth. L'orthogonal de F contient toujours Ker phi. Si phi est non dégénérée et F est un sev alors dim E = dim F + dim F^orth (preuve). On admet que dans le cas général dim E + dim(E^orth \cap F) = dim F + dim F^orth. Si F est régulier i.e. F^orth \cap F={0} alors F et F^orth sont supplémentaires dans E. Rappel que dans un espace euclidien un sev F et son orthogonal F^\orth sont toujours supplémentaires. Exemple d'une forme bilinéaire pour laquelle F=F^\orth.
Théorème de représentation de Riesz pour une forme bilinéaire non dégénérée sur un espace de dimension finie.
2) Formes quadratiques a) Définitions. q est quadratique s'il existe une forme bilinéaire phi telle que q(x)=phi(x,x). Proposition et définition : il existe une unique forme bilinéaire symétrique qui vérifie cette égalité. On l’appelle la forme polaire. Identités de polarisation reliant forme polaire et forme quadratique. Corollaire : théorème de Pythagore. Exemple de détermination pratique de la forme polaire à partir d'une forme quadratique explicite.