Cours du 03/09/2024, révisions de première année. Notion d'espace vectoriel. Familles libres, génératrices et bases. Matrices, opérations : addition, multiplication et multiplication par un scalaire. Notion de matrice inversible. Matrice associée à une application linéaire. Matrice de changement de base, formules de changement de bases.
Cours du 10/09/2023, révisions de première année et groupe symétrique. Notion de sous-espace vectoriel, noyau et image d'une application linéaire, théorème du rang, somme et somme directe de sous-espaces vectoriels, dimension d'une somme de deux sous-espaces vectoriels. Groupe symétrique, définition, notion de transposition, de cycle. Notion de groupe, de morphisme de groupe. Signature d'un élément, propriétés de la signature. Décomposition d'une permutation en produit de transposition. Signature d'une transposition (démonstration à connaître).
Cours du 17/09/2024, déterminant (début). Définition. Calcul du déterminant d'une matrice triangulaire supérieure, déterminant par blocs. Calcul du déterminant de la transposée d'une matrice (démonstration à connaître). Linéarité du déterminant par rapport à une ligne ou une colonne. Comportement du déterminant par permutation de lignes ou de colonnes. Opérations sur les lignes ou les colonnes d'un déterminant.
Cours du 24/09/2024, déterminant (fin) et réduction (début). Calcul du déterminant par développement le long d'une ligne ou d'une colonne. Propriété de multiplicativité du déterminant. Caractérisation de l'inversibilité d'une matrice carré au moyen du déterminant (démonstration à connaître). Déterminant de l'inverse. Formule de Cramer. Déterminant d'une famille de n vecteurs dans un espace vectoriel de dimension n, caractérisation de la liberté en terme du déterminant. Interprétation en termes d'aire et de volume. Vecteurs propres, valeurs propres, spectre.
Cours du 01/10/2024, réduction. Polynôme caractéristique. Caractérisation des valeurs propres comme racines du polynôme caractéristique (démonstration à connaître). Influence du corps des scalaires. Endomorphismes diagonalisables, définition, interprétation matricielle. Indépendance linéaire des vecteurs propres (démonstration à connaître).
Cours du 08/10/2024, réduction, applications de la réduction. Critère de diagonalisation : un endomorphisme/une matrice est diagonalisable si et seulement la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de l'espace. Une matrice carrée de taille ayant n valeurs propres distinctes est diagonalisable. Puissances d'une matrice diagonalisable. Résolution des systèmes de suites récurrentes linéaires (dans le cas diagonalisable).
Cours du 15/10/2024, réduction, polynômes d'endomorphismes. Résolution des systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants (dans le cas diagonalisable). Notion de sous-espace stable. Si f et g commutent, le noyau et l'image de g sont stables par f (démonstration à connaître). Sous-espace stable, interprétation matricielle en termes de matrice par blocs. Rappels sur les polynômes. Polynômes d'endomorphismes et de matrices. Existence, unicité et propriétés du polynôme minimal d'un endomorphisme (démonstration à connaître), d'une matrice.
Cours du 12/11/2024, polynômes d'endomorphismes, trigonalisabilité. Lemme des noyaux. Critère de diagonalisabilité : f est diagonalisable ssi f est annulé par un polynôme scindé à racines simples ssi le polynôme minimal est scindé à racines simples. Racines du polynôme minimal. Trigonalisation. Notion d'endomorphisme et matrice trigonalisables. Critère de trigonalisation via le polynôme caractéristique. Théorème de Cayley–Hamilton. Sous-espaces caractéristiques. Multiplicités algébriques et géométriques d'un endomorphisme.
Cours du 19/11/2024, endomorphismes nilpotents, décomposition de Jordan. Endomorphismes nilpotents, caractérisation en terme de matrices triangulaire supérieure stricte et en terme de polynôme caractéristique. Endomorphismes cycliques. Caractérisation d'un endomorphisme cyclique et nilpotent. Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent. Formule pour le nombre de blocs de Jordan de taille n dans la réduction de Jordan.
Cours du 26/11/2024, décomposition de Dunford, exponentielle de matrice. Décomposition de Dunford, exponentielle de matrices, application aux systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.