7 septembre (3h). Sections 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5. Motivations. Définition de topologie. Exemples : topologie euclidienne de Rn, discrète, chaotique, co-finie. Exercice : dans un espace topologique l'intersection de fermés est fermée et la réunion finie de fermés est fermée.Rappel : une fonction de Rn dans Rm est continues si et seulement si l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert. Définition de fonction continue entre espaces topologiques. Exercice : “la composition de fonctions continues entre espaces topologiques est continue” (La continuité sera détaillée plus tard dans le chapitre 2, l'exercice sert simplement à illustrer l'intérêt de redéfinir la continuité sans epsilon et delta). Définition de distance. Exemples : distance euclidienne sur R^n, distance discrète. Boules. Définition d'ouvert et fermé dans un espace métrique. Les boules sont ouvertes. Exercice : les boules “avec inégalité large” sont fermées. Construction de la topologie métrique. Exercice : la distance discrète induit la topologie discrète. Espaces topologiques séparés. Exemples : la topologie métrique est séparée. La topologie chaotique n'est pas séparée. Dans un espace séparé les singletons sont fermés. Définition de norme. Exemple: norme euclidienne sur Rn. Exercice : la norme-infini et la norme-1 sur l'espace C([a,b],R) vérifient les axiomes de norme. Construction de la distances issue d'une norme. Définition d'intérieur et d'adhérence. Complémentaire de l'intérieur/adhérence. Intérieur et adhérence d'une réunion et intersection de deux ensembles.
8 septembre (1h30). Voisinages. x appartient à l'adhérence de A ssi tout voisinage de x intersecte A. Suites. Sous-suites. Convergence (définition avec les voisinages). Unicité de la limite. Suites dans un espace métrique. Dans un espace métrique x appartient à l'adhérence de A ssi existe une suite de A convergente vers x. Corollaire : critère pour qu'une partie d'un métrique soit fermée utilisant les suites. Définition de distances topologiquent équivalentes. C.n.s pour que deux distances soient topologiquement équivalentes utilisant les suites. Définition de distances lipschitz-équivalentes.
15 septembre (3h00). Distances Lipschitz équivalentes implique distances topologiquement équivalentes. C.n.s. pour que deux distances soient topologiquement équivalentes utilisant les boules emboîtées. Produit fini d'espace métriques et distance-infinie. Convergence dans une produit fini d'espace métriques. Boule dans un produit pour la distance-infinie comme produit de boules. Le produit d'ouverts/fermés est ouvert/fermé. Sous espaces métriques. Caractérisation des ouverts et des fermés dans un sous-espace métrique. Exemple: l'intervalle [0,1) est ouvert dans R+. Exemple d'un espace métrique (une réunion de deux intervalles disjoints) possédant des parties non-triviales simultanément ouvertes et fermées. Notion de partie dense d'un espace métrique. Notion d'espace métrique séparable. Le produit fini d'espace séparable est séparable. Un sous-espace d'un espace métrique séparable est séparable (démonstration hors programme). Les définitions suivantes ont été données sans commentaires particuliers : partie bornée d'un espace métrique, point d'accumulation. Inégalité de Young, de Holder et de Minkowski. La norme-p dans Rn et espaces de suite lp. Chapitre 2 : Fonctions continues en un point entre espaces métriques : définition avec les voisinages. Caractérisation de la continuité en un point avec epsilon/delta. Caractérisation de la continuité en un point avec les suites. f est continue en tout point si et seulement si l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert.
22 septembre (3h00). Continuité et image réciproque de fermés. Fonctions lipschitziennes. Lipschitzienne implique continue. Limites d'une fonction en un point dans l'adhérence de l'ensemble de définition. Caractérisation séquentielle de la limite en un point. Critère de continuité des applications linéaires. Deux normes sont topologiquement équivalentes si et seulement si elles sont lipschitz équivalentes. L'espace L(E,F) des applications linéaires continues. Norme subordonnée d'une application linéaire. Exemple de calcul d'une norme subordonnée. Opérations avec les fonctions continues. Continuité des applications bilinéaires et multilinéaires. Continuité des fonctions à valeurs dans un produit. Fonction continues définies sur un produit d'espaces métriques : si on fixe une variable on obtient une fonction continue des autres variables
29 septembre (3h00). La distance est une application lipschitzienne de X x X dans R. Continuité uniforme. Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. Critère de non continuité uniforme. Convergence simple et convergence uniforme d'une suite de fonctions entre espaces métriques. La limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue. La limite uniforme de fonctions bornées est bornée. Isométries. Injectivité d'une isométrie. Espaces métriques isométrique. Exercice (seulement l'indication) : C([a,b],R) et C([0,1],R) sont isométriques. Homéomorphismes. Exemple d'une fonction continue et bijective avec inverse discontinue. Exercice (seulement l'indication) : un carré est homéomorphe à un disque. Chapitre 3. Suites de Cauchy. Toute suite convergente est de Cauchy. Valeurs d'adhérence. Toute suite de Cauchy avec une valeur d'adhérence converge vers cette valeur. Toute suite de Cauchy est bornée. Exemple d'une suite de Cauchy divergente dans l'intervalle (0,1]. Espaces complets. R est complet. Le produit fini d'espaces complets est complet. L'espace métrique des fonctions continues et bornées C_b(X,Y) avec la distance du sup et démonstration de sa complétude.
6 octobre (3h00). Espaces de Banach. Exemples : R^n, C([a,b],R). L'espaces des suites réelles bornées est de Banach pour la norme du sup. L'espace des suites réelles carré-sommables est de Banach pour la norme-2. Exercice (non fait) : l'espace des suites réelles sommables est de Banach pour la norme-1. L'espace des applications linéaires et continues à valeur dans un Banach est un Banach pour la norme subordonnée. Le dual topologique d'un e.v.n. est une Banach. Contractions et théorème de point fixe. Définition de série convergente et de série normalement convergente dans un espace vectoriel normé. Dans un Banach, toute série normalement convergente est convergente. Si E est un espace de Banach et si T:E→E est une application linéaire continue de E dans E de norme subordonnée strictement inférieure à 1, alors I-T est inversible dans et l'inverse est la somme de la série des itérées de T. Applications aux matrices. Norme subordonnée d'une matrice. Formule de l'inverse de la matrice I-M. Définition de l'exponentielle d'une matrice réelle carrée.
13 octobre (3h00). Chapitre 4. Recouvrements ouverts. Constante de Lebesgue d'un recouvrement. Théorème de Bolzano Weierstrass (non démontré, mais démonstration en L2) Séquentiellement compact implique l'existence d'une constante de Lebesgue d'un recouvrement. Séquentiellement compact implique précompact. Un espace métrique est compact si et seulement s'il est séquentiellement compact. Compact implique complet, fermé, et borné. Un fermé dans un compact est compact. Le produit fini de compacts est compact. Dans Rn les compacts sont exactement les fermés-bornés. Exercice (non résolu) : la boule fermée de l-infini est bornée mais non compacte. L'image d'un compact par une fonction continue est compact. Tout compact de R possède min et max. Théorème de Weierstrass. Toute fonction continue possédant un ensemble de sous-niveau compact possède un minimum. Toute fonction continue et coercive sur Rn possède un minimum. Théorème de Heine. Dans Rn toutes les normes sont équivalentes.
20 octobre. Pas de cours.
27 octobre (2h00). Partiel. Pas de cours.
3 novembre. Pas de cours.
10 novembre. (1h30) Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Toute application linéaire définie sur un espace vectoriel normé de dimension finie est continue. Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, les parties fermées et bornées sont compactes. Un sous espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normée est une partie fermée et complète. Meilleure approximation : si A est une partie fermée d'un espace vectoriel normé et si A est contenue dans un sous-espace vectoriel de dimension finie, alors tout élément de E admet un élément de A qui réalise la plus courte distance. Théorème de Riesz : dans tout espace vectoriel normé de dimension infinie, les boules fermées ne sont pas compactes. Produit dénombrable d'espaces métriques compacts.
17 novembre. (3h00). Chapitre 5.. Espaces métriques connexes. Dans un connexe, les seules parties simultanément ouvertes et fermée sont l'ensemble vide et l'espace entier. Un espace est connexe si et seulement si toute fonction continue à valeurs dans {0,1} est constante. Si A est connexe et B est contenu dans l'adhérence de A alors B est connexe. La réunion de connexes qui intersectent un connexe est connexe. Composantes connexes : elles sont connexes, fermée, disjointes si distinctes, ouvertes si en nombre fini. L'image d'un connexe par une fonction continue est connexe. Le produit fini de connexes est connexe. Dans R, une partie est connexe si et seulement si est un intervalle. Tout ouvert de R est réunion dénombrable d'intervalles ouverts. Ségments dans un espace vectoriel normé. Ensembles étoilés et ensembles convexes. Tout convexe est étoilé et tout étoilé est connexe. Espaces connexes par arcs. Tout espace connexe par arcs est connexe. La relation d'être 'relié par un arc' est une relation d'equivalence sur les points d'un espace métrique. Dans un espace vectoriel normé, un ouvert connexe est connexe par arcs.
24 novembre. (1h30). (prévision) Toute fonction de classe C^1 sur ouvert connexe de R^n et de gradient nul est constante. Compléments (utiles aux étudiants qui poursuivent en master, non exigés à l'examen) : produit dénombrable d'espaces métriques et distance produit. Méthode d'extraction diagonale. Le produit dénombrable d'espaces métriques compacts est compact.