Analyse 3

Contrôle partiel (CP) + Examen (Exa).

La note à l'UE sera le maximum entre la moyenne CP(50%)+Exa(50%) et la note de l'examen.

Partiel du mercredi 15 novembre : - fiche de révision - sujet - corrigé

Examen vendredi 12 janvier : - Séance de soutien mercredi 6 décembre de 9h45 à 11h15 en amphi Grignard - fiche de révision - sujet - corrigé

Seconde session lundi 24 juin 8h-9h30

Enseignant : Thomas Blossier

Nombres réels

• 6/09 : Approche axiomatique de R : unique corps commutatif totalement ordonné satisfaisant l'axiome de la borne supérieure (existence et unicité admises). Propriétés de l'ordre. (Exemples/culture : Q est également un corps totalement ordonné, par contre le corps C ne peut être muni d'un ordre qui en fait un corps totalement ordonné.) Valeur absolue et inégalité(s) triangulaire(s). R est archimédien (Q également). Majorants, minorants, max, min, sup, inf, axiome de la borne supérieure. (Pour la culture : Q ne satisfait pas l'axiome de la borne supérieure - contre-exemple en prenant $A=\{x \in \textbf{Q} \colon x^2 \leq 2\}$. Caractérisations de la borne sup. Preuve de la convergence des suites monotones majorées/minorées. Suites adjacentes. Démo à connaître : Théorème de caractérisations de la borne sup. : soit $A$ une partie non vide majorée de R et $b$ un réel : $b= \sup A$ si seulement si $b$ est un majorant de $A$ et $\forall \varepsilon >0\; \exists a \in A, \; a > b-\varepsilon$, si seulement si $b$ est un majorant de $A$ et il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $b$.
• 13/09 : Théorème des valeurs intermédiaires. Suites extraites. Toute suite admet une sous-suite monotone. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Suites de Cauchy. Théorème des bornes atteintes (toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes). Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis et Taylor-Lagrange. Démo à connaître : si une suite converge vers $\ell$, toutes ses suites extraites convergent vers $\ell$.
• 20/09 : Fonctions uniformément continues, exemple $x \mapsto \sin x$ sur R, contre-exemple $x \mapsto x^2$ sur R. Théorème de Heine. Exemple d'application : $x \mapsto \frac{\sin(x)}{x}$ sur $]0,1]$. Démo à connaître Preuve du théorème de Heine.

Équations différentielles

• 20/09 : Équations différentielles linéaires d'ordre 1. Équation homogène, ensemble de solutions, méthode de la variation de la constante. Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants. Équation caractéristique, ensemble de solutions, cas particulier de second membre de la forme $t\mapsto Q(t) e^{\lambda t}$ où $Q$ est un polynôme.

Intégrale de Riemann

• 27/09 : Diapos et illustrations sur Geogebra. Fonctions en escaliers. Une définition de l'intégrale. Propriétés de l'intégrale. Les fonctions continues par morceaux sont intégrables. Démo à connaître : preuve de intégrale d'une somme est égale à la somme des intégrales.
• 4/10 : Théorème fondamental du calcul intégral : soit $f :I \to \mathbb{R}$ une fonction continue sur un intervalle I de R. Alors pour tout $a \in I$, la fonction $F : I \to \mathbb{R}, \; x \mapsto \displaystyle \int_a^x f(t) dt$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$. Corollaire : si $a,b \in I$ et $G$ est une primitive de $f$, $\displaystyle \int_a^b f(t) dt = G(b)-G(a)$. Intégration par parties : soit $u,v :[a,b] \mapsto \mathbb{R}$ deux fonctions $C^1$, alors $\displaystyle \int_a^b u'(t)v(t) dt = u(b)v(b)- u(a)v(a) - \int_a^b u(t)v'(t) dt.$ Changement de variables : soit $f :[a,b] \to \mathbb{R}$ continue et $\varphi : [\alpha,\beta] \to [a,b]$ de classe $C^1$ telle que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$, alors $\displaystyle \int_a^b f(x) dx =\int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt$. Énoncé de la formule de Taylor avec reste intégral. Démo à connaître : preuve du théorème fondamental du calcul intégral.

Introduction au calcul numérique d'une intégrale

• 11/10 : Diapos et illustrations sur Geogebra. Sommes de Riemann et vitesse de convergence dans le cas d'une fonction $C^1$. Méthodes des rectangles, des trapèzes. Interpolation de Lagrange. Méthodes simples/méthodes composites

Intégrales impropres

• 18/10 : Définition (convergence/divergence). Premiers exemples. Linéarité, monotonie, relation de Chasles. Cas des fonctions à valeurs positives : critère de convergence de $\int_a^{+\infty} f(t) dt$ pour $f \geq 0$ : $x\mapsto \int_a^{x} f(t) dt$ est une fonction croissante et $\int_a^{+\infty} f(t) dt$ converge ssi $x\mapsto \int_a^{x} f(t) dt$ est majorée. Premier théorème de comparaison (cas où $f$ est majorée par $g$ au voisinage de $+\infty$; cas où f=o(g) ou $f=O(g)$ au voisinage de $+\infty$). Intégrales de Riemann : $\int_1^{+\infty} \frac 1 {t^\alpha} dt$ converge ssi $\alpha>1$. Intégrales de Bertrand : $\int_2^{+\infty} \frac 1 {t^\alpha (\ln t)^\beta} dt$ converge ssi $\alpha>1$ ou $(\alpha=1 \text{ et } \beta>1)$. Second théorème de comparaison : si $f$ et $g$ sont équivalentes au voisinages de $+\infty$, leurs intégrales sont de même nature. Fonctions de signes arbitraires : Intégrales absolument convergentes et inégalité triangulaire. Démo à connaître : Une intégrale absolument convergente est convergente et dans ce cas on a l'inégalité triangulaire.

• 25/10 : Intégrales semi-convergentes. Exemple : \int_1^{+\infty} \frac{sin t}{t} dt. Intégrales impropres sur $[a,b[$, $]a,b]$, $]-\infty,b]$, $]a,b[$…Exemples: \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt; \int_0^{1} \frac 1 {t^\alpha} dt converge ssi \alpha<1; fausse intégrale impropre : \int_{0}^{1} \frac{\sin t}{t} dt. Intégrales impropres en les 2 bornes \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{\sqrt t} dt. Intégration par parties. Formule du changement de variables. Exemples: \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{\sqrt t} dt = 2 \int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx. Proposition : toute fonction continue et positive sur un intervalle dont l'intégrale (impropre) sur cet intervalle est nulle, est une fonction nulle sur cet intervalle.

Séries numériques

• 8/11 : Généralités : Notations et définitions, premiers exemples, premières propriétés : si la série $\sum u_n$ converge alors la suite $(u_n)$ converge vers $0$, premiers exemples : séries géométriques, exponentielles, harmonique, $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac 1 {n(n+1)}$, linéarité et monotonie, critère de Cauchy. Démo à connaître : si la série $\sum u_n$ converge alors la suite $(u_n)$ converge vers $0$; ainsi qu'un contre-exemple de la réciproque (la série harmonique).
• 22/11 : séries absolument convergentes, preuve par le critère de Cauchy qu'une série absolument convergente est convergente. Séries à termes positifs : Caractérisation de la convergence des séries à termes positifs, théorèmes de comparaison, exemples :$\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac 1{n^2}$, $\displaystyle\sum_{n \geq 0} \sin\left(\frac {\pi}{2^n}\right)$, $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{\ln(n)}{n^3}$, $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{\ln(n)}{n}$, $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{1}{\sqrt n}$, $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{n+\ln(n)}{n^3}$; règle de Cauchy (Soit $\sum u_n$ une série à termes strictement positifs telle que $\sqrt[n]{u_n} \longrightarrow \ell$. Si $\ell <1$ alors $\sum u_n$ converge; si $\ell >1$ alors $\sum u_n$ diverge, si $\ell=1$, on ne peut pas conclure), règle de d'Alembert (Soit $\sum u_n$ une série à termes strictement positifs telle que $\frac{u_{n+1}}{u_n} \longrightarrow \ell$. Si $\ell <1$ alors $\sum u_n$ converge; si $\ell >1$ alors $\sum u_n$ diverge, si $\ell=1$, on ne peut pas conclure), exemples d'utilisation de la règle de d'Alembert (retour sur les séries exponentielles,…). Théorème de comparaison séries/intégrales. Démo à connaître : preuve de la règle de Cauchy.
• 29/11 : Séries à termes positifs (fin) : Séries de Riemann, séries de Bertrand.Séries à termes de signes quelconques : Séries semi-convergentes (exemple). Critère de convergence des séries alternées. Produit de Cauchy : cas des séries absolument convergentes. Exemple du produit de Cauchy des séries géométriques de raison a et -a pour -1<a<1. Démo à connaître : Critère de convergence des séries alternées.

Fiche 1 : Nombres réels

Fiche 2 : Équations différentielles

Fiche 3 : Intégrale de Riemann

Fiche 4 : Intégrales impropres

Fiche 5 : Séries numériques

• 13/09 : fiche 1, exercices 1(1-10), 2, 3, 4, 6.1 .
• 20/09 : fiche 1, exercices 6, 7, 9, 10, 11 .
• 27/09 : fiche 1, exercices 12, 14, 15, 16, 17, 18, 20. Fiche 2 : exercices 1, 2.
• 04/10 : fiche 2, exercices 3, 4. Fiche 1, exercice 13.
• 11/10 : fiche 2, exercice 19 . Fiche 3 : exercices 1, 2, 3(1,2).
• 25/10 : fiche 3, exercices 3(3,4), 4, 5, 6, 7, 10.
• 08/11 : fiche 4, exercices 1, 2, 3, 4.
• 15/11 : fiche 4, exercices 5, 6.
• 22/11 : fiche 4, exercices 7, 8, 12.
• 29/11 : fiche 5, exercices 1, 2, 3(sauf 15, à faire la semaine prochaine).
• 06/12 : fiche 5, exercices 3.15, 4, 5, 6, 7.1, 8.

• 13/09 : fiche 1, exos 1, 2, 3, 4.
• 20/09 : fiche 1, exos 7, 9, 5(1) ,10 ,12 , 13(1-5).
• 27/09 : fiche 1, exos 13(7,8,9), 14, 17. Fiche 2 : exos 1, 3(a-b).
• 4/10 : fiche 1, exos 15, 18, 19, 20. Fiche 2 : exos 2, 3(c-e). Fiche 3 : exo 4.
• 11/10 : fiche 3, exos 1,2, 5, 6, 9, 11(a).
• 25/10 : fiche 3, exos 3 (1& 2), 7, 11(b,c), 10, 12(d,e), 13 (e).
• 8/11 : fiche 4, exos 1(1-6), 2(1-6), 4 et 5(juste l'idée pour la question 2).
• 15/11 : fiche 4, exos 6 (1,2,3,4,5,7), 8 (1,2), 9.
• 22/11 : fiche 4, exos 6 (6,8), 7, 11, 12(1-3). Pour le
• 29/11 : fiche 5, exos 1, 2 (1-4), 3 (3-5, 14-15), 5, 6 (1-2). Pour le 6/12, finir 2 et 3, préparer 4.

• 13/09 : exo 1 (1,2,,5,6,7,8,9,10), exo 2, exo 3 exo 4. Finir le 6 pour la prochaine fois;
• 20/09 : exo 6, 7, 8, 10. Faire les 13 et 15 pour le 27/09.
• 27/09 : exo 13, 15 de la feuille 1, exo 1, 2 de la feuille 2. Terminer le 3 de la feuille 2 ainsi que le 17 de la feuille 1.
• 4/10 : exo 3 (feuille 2). exo 17, 18, 19 et 21 de la feuille 1. Commencer l'exo 1 de la feuille 3.
• 11/10 : exo 1, 2, 5, 6, 7, 9 de la feuille 3. Faire le 12.
• 18/10 TP
• 25/10 : feuille 3 : exo 12, 13, 11, faire le 10 pour le 8/11.
• 8/11 : feuille 3 exo 10, feuille 4 exo 1, 2 et 3. Pour le 15/11 finir les exos 1 et 2 de la feuille 4.
• 15/11 : feuille 4, fin des exos 1 et 2, exo 5, 6 (1, 2, 3, 4), exo 7. Pour le 22/11 terminer l'exercice 6.
• 22/11 : feuille 6 : exo 4, 6, 8, début du 11.
• 29/11 :
• 6/12 :

• 13/09 : fiche 1, exercices 1 à 4, 6 et 7.
• 20/09 : fiche 1, exercices 9, 10, 11 (1-3), 12, 13 (sauf 6, 8), 14, 15, 17 (1).
• 27/09 : fiche 1, exercices 17 (2), 16, 18, 19, 20. Fiche 2, exercices 1, 2, 3 (1.(a)-(b)).
• 04/10 : fin de la fiche 2 ; fiche 3 exercice 1 début exercice 2.
• 11/10 : fiche 3 exercices 2 à 7, exercice 11 (a).
• 25/10 : fiche 3 exercices 9 à 11, exercice 12 (d), exercice 13 (e). Fiche 4 exercice 1 (1-6), exercice 2 (1-3).
• 08/11 : fiche 4 fin exercice 2, exercices 3 à 5, exercice 6 (1-4).
• 15/11 : fiche 4 exercice 6 (6 et 7), exercices 7, 9, 10, exercice 11 (1).
• 22/11 : fiche 4 fin exercice 11, exercice 12. Fiche 5 exercice 1, exercice 2 (1 et 4).

• TP0 : Prise en main de Jupyter et introduction à Python - Soumettre le notebook complété au plus tard mardi 17 octobre.

• TP : Méthodes d'intégration numérique. Le notebook de ce TP est à récupérer directement sur le serveur Jupyter de l'université. Dans le cas où le serveur ne fonctionnerait pas, il est possible de télécharger ce notebook via ce lien.

• Nombres réels : sup, inf. Relations d’ordre. Retour sur la preuve de la convergence des suites monotones minorées/majorées. Suites extraites, preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass, preuve du théorème de Weierstrass (théorème des bornes). Continuité uniforme.

• Intégrale de Riemann : fonctions en escaliers. Fonctions continues par morceaux. Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment. Sommes de Riemann : si f : [a, b] → R est continue par morceaux alors la somme de Riemann (b-a)/n∑_{k=0}^nf(a+k(b-a)/n) tend vers l'intégrale de f sur [a,b]. Preuve dans le cas où f est C1. Théorème fondamental du calcul intégral (preuve).

• Méthode des rectangles, des trapèzes. Polynômes d’interpolation de Lagrange et construction de formules de quadrature.

• Intégrales généralisées pour les fonctions f : I → R continues par morceaux sur un intervalle I de R. Convergence. Linéarité, positivité, relation de Chasles. Cas des fonctions à valeurs positives. Intégrales de Riemann et de Bertrand. Théorèmes de comparaison. Convergence absolue. Exemple d'intégrale semi-convergente. Changements de variables. Intégration par parties. Abel hors programme.

• Séries numériques. Convergence. Linéarité, positivité. Séries à termes positifs. Théorèmes de comparaison. Critères de Cauchy et de d'Alembert.

• Comparaison série/intégrales. Séries de Riemann et de Bertrand. Convergence absolue. Absolue convergence implique convergence. Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Séries semi-convergentes. Séries alternées. Le critère d’Abel est hors programme.

François Liret et Dominique Martinais, Analyse 1ère année (Chapitres 1, 4, 9, 10, 16, 17) - Analyse 2ème année (Chapitres 1 & 2)