Cours du 12/09/2023, révisions de première année. Notion d'espace vectoriel. Familles libres, génératrices et bases. Sous-espaces vectoriels, sommes de sous-espaces vectoriels, sommes directes, formule pour la dimension de la somme de deux sous-espaces vectoriels. Applications linéaires, noyau, image, théorème du rang. Matrices, opérations : addition, multiplication et multiplication par un scalaire, transposée.
Cours du 19/09/2023, révisions de première année et groupe symétrique. Notion de matrice inversible. Matrice associée à une application linéaire. Matrice de changement de base, formules de changement de bases. Groupe symétrique, définition, notion de transposition, de cycle.
Cours du 26/09/2023, groupe symétrique, déterminant. Notion de groupe, de morphisme de groupe. Signature d'un élément, propriétés de la signature. Décomposition d'une permutation en produit de transposition. Déterminants, définition. Déterminant d'une matrice triangulaire supérieure, déterminant par blocs. Opérations élémentaires sur les lignes et sur les colonnes d'un déterminant.
Cours du 03/10/2023, déterminant (suite et fin). Linéarité du déterminant par rapport à une ligne ou une colonnes. Applications n-linéaires alternées. Caractérisation du déterminant comme application n-linéaire alternée. Propriété de multiplicativité du déterminant. Caractérisation de l'inversibilité d'une matrice carré au moyen du déterminant. Déterminant de l'inverse. Formule de Cramer. Déterminant d'une famille de n vecteurs dans un espace vectoriel de dimension n, caractérisation de la liberté en terme du déterminant.
Cours du 10/10/2023, réduction des endomorphismes (début). Vecteurs propres, valeurs, propres, sous-espaces propres, spectre : pour un endomorphisme et pour une matrice carré. Polynôme caractéristique d'une matrice carré et d'un endomorphisme. Théorème : les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. Si on a une base propre d'un endomorphisme, le spectre correspond aux valeurs propres associées aux vecteurs de la base.
Cours du 17/10/2023, réduction des endomorphismes (suite). Endomorphismes diagonalisables, matrices diagonalisables, bases propres. Spectre et sous-espaces propres d'une matrice diagonale. Indépendance linéaire des vecteurs propres, des sous-espaces propres. Critère de diagonalisation : un endomorphisme/une matrice est diagonalisable si et seulement la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de l'espace. Une matrice carrée de taille ayant n valeurs propres distinctes est diagonalisable.
Cours du 24/10/2023, applications de la réduction. Puissances d'une matrice diagonalisable, exponentielle d'une matrice diagonalisable. Résolution des systèmes de suites récurrentes linéaires d'ordre 1 (dans le cas diagonalisable). Résolution des systèmes d'équations différentielles linéaires d'ordre 1 à coefficients constants (dans le cas diagonalisable). Résolution des équations différentielles linéaires d'ordre supérieur à coefficients constants (si la matrice compagnon est diagonalisable).
Cours du 07/11/2023, sous-espaces stables. Sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme, endomorphisme induit sur un sous-espace stable, interprétation matricielle en terme de matrice triangulaire par blocs. Rappels sur les polynômes, théorème de d'Alembert-Gauss.
Cours du 14/11/2023, polynômes d'endomorphismes et polynôme minimal. Notion de polynôme d'endomorphisme, de matrice carré. Règles de calculs, deux polynômes d'un même endomorphisme/matrice commutent. Polynôme annulateur d'un endomorphisme/d'une matrice. Existence en dimension finie, existence et unicité du polynôme minimal, propriété de divisibilité du polynôme minimal. Lemme des noyaux. Critère de diagonalisabilité : f est diagonalisable ssi f est annulé par un polynôme scindé à racines simples ssi le polynôme minimal est scindé à racines simples. Racines du polynôme minimal.
Cours du 21/11/2023, trigonalisation. Notion d'endomorphisme et matrice trigonalisables. Critère de trigonalisation via le polynôme caractéristique. Théorème de Cayley–Hamilton. Endomorphismes nilpotents, caractérisation en terme de matrices triangulaire supérieure stricte et en terme de polynôme caractéristique. Sous-espaces caractéristiques. Multiplicités algébriques et géométriques d'un endomorphisme.
Cours du 28/11/2023, forme de Jordan. Endomorphismes cycliques. Caractérisation d'un endomorphisme cyclique et nilpotent. Décomposition de Jordan d'un endomorphisme nilpotent. Formule pour le nombre de blocs de Jordan de taille n dans la décomposition de Jordan.
Cours du 05/12/2023, décomposition de Dunford, exponentielle de matrice. Décomposition de Dunford, exponentielle de matrices, application aux systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.