FONDAMENTAUX DE MATHÉMATIQUES 1 - PARTIE B

Cours “Fondamentaux de Mathématiques 1 - partie B” de Francesco Fanelli (email, page personnelle) en Licence 1 adaptée, année 2019-2020.

Le cours se compose de trois chapitres:

• les polynômes sur R et C: définition; somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires; divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles; fonctions polynomiales: racines, dérivation, racines multiples, relations coefficients-racines, théorème de d’Alembert-Gauss;
• limites et continuité des fonctions: limites, limites à gauche et à droite, caractérisation séquentielle; opérations, passage à la limite dans des inégalités; théorème d’encadrement, théorème de la limite monotone; continuité, continuité à gauche, à droite, prolongement par continuité, opérations; théorème des valeurs intermédiaires et de la bijection, fonction continue sur un segment;
• dérivabilité: dérivabilité, dérivabilité à gauche, à droite, interprétation géométrique, opérations; extremum local et point critique; théorème de Rolle et des accroissements finis.

On recommande le livre Cours de Mathématiques (de A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron).

L'UE se compose de 20h de CM et 40h de TD. Les cours ont lieu:

• le lundi de 16h15 à 18h15;
• le mercredi de 14h00 à 18h15.

Attention: pas de cours le lundi 23/09 et mercredi 25/09.

Il y aura deux contrôles continus de 1h, et un contrôle terminal de 2h.

• Contrôles continus: les lundis 21/10 et 25/11.
• Contrôle terminale: le mercredi 18/12 à 14h00.

Chaque CC compte pour le 25% de la note finale, le CT pour le 50%.

1. Les polynômes
2. Limites et continuité
3. Dérivabilité

• Mercredi 11/09: CM → définition de polynômes sur un corps K; opérations (somme, multiplication par un coefficient, produit de polynômes); degré; polynômes unitaires; divisibilité, théorème de division euclidienne (unicité).
• Lundi 16/09 : TD → polynômes composés, polynômes dérivés. TD: fiche “Polynômes”, exercices 1 et 3 ; exemples de division euclidienne entre polynômes; exercice 21.26 du livre.
• Mercredi 18/09:
  1. CM → fonctions polynomiales, racines et racines multiples d'un polynôme; factorisation dans C[X], polynômes conjugués.
  2. TD → exercices 21.5, 21.6, 21.9, 21.26, 21.27 du livre.
• Lundi 30/09: TD → fiche “Polynômes”, exercices 9.6 et 9.7.
• Mercredi 02/10:
  1. CM → factorisation dans R[X], polynômes irréductibles; PGCD et propriétés, encore sur les polynômes irréductibles.
  2. TD → exercices 9.9 et 9.10 de la fiche “Polynômes”; rélation coefficients-racines.
• Lundi 07/10: TD → fiche “Polynômes”, exercices 9.10, 9.11, 9.15, 9.20.
• Mercredi 09/10: TD → exercices4 21.35-39-40, 21.17-18-24 du livre; fiche “Polynômes”, exercice 9.16.
• Lundi 14/10: TD → exercice 21.56 du livre; fiche “Polynômes”, exercices 9.17 et 9.19.
• Mercredi 16/10: CM → points d'adhérence d'un ensemble, voisinages; limites: définitions, unicité, rélation limite-inégalité, opérations algébriques; continuité, continuité à gauche et à droite, prolongement par continuité, passage à la limite dans les inégalités.
• Lundi 21/10: CC1 et correction.
• Mercredi 23/10: TD → exercices 11.1, 11.3, 11.4 du livre.
• Lundi 04/11: TD → exercices 11.5, 11.6, 11.7 du livre. CM → théorème des valeurs intermédiaires.
• Mercredi 06/11:
  1. CM → théorème de composition des limites; caractérisation séquentielle; théorème de la limite monotone. Propriétés globales: fonction continue sur un intervalle; théorème des valeurs intermédiaires.
  2. TD → exercices 11.7, 11.8, 11.9, 11.10 du livre.
• Mercredi 13/11:
  1. CM → théorème des valeurs intermédiaires (II forme); fonction continue sur un intervalle, sur un segment, théorème de Weierstrass; théorème de la bijection. Définition de taux d'accroissement, dérivée en un point; interprétation de la dérivée; développement limité à l'ordre 1.
  2. TD → exercices 11.33, 11.34, 11.42, 11.43, 11.44, 11.47 du livre.
• Lundi 18/11: TD → exercice 11.34 du livre; fiche “Limites et continuité des fonctions”, exercices 2.1, 2.3, 2.6, 2.12.
• Mercredi 20/11: TD → fiche “Limites et continuité des fonctions”, exercices 2.6, 2.7, 2.9, 2.106, 2.108; exercices 11.49, 11.55, 11.76 du livre.
• Lundi 25/11: CC2 et correction.
• Mercredi 27/11:
  1. CM → opérations sur les dérivées, exemples; extrema d'une fonction dérivable; théorèmes de Rolle et des accroissements finis, inégalité des accroissements finis; variations d'une fonction; théorème de prolongement dérivable; dérivées successives, fonctions de classe C^n.
  2. TD → fiche “Dérivabilité”, exercices 3.1, 3.2.
• Lundi 02/12: TD → fiche “Dérivabilité”, exercice 3.3; exercice 12.2 du livre.
• Mercredi 04/12: TD → fiche “Dérivabilité”, exercices 3.4, 3.5, 3.7, 3.8, 3.9.
• Lundi 09/12: TD → fiche “Dérivabilité”, exercice 3.11; exercice 12.33 du livre.