Maths 3 - Automne 2016

• Cours 1 (14 septembre) : Espaces vectoriels : définitions, propriétés, sous-espaces vectoriels, somme, somme directe, familles génératrices, familles libres, bases, dimension. Transparents
• Cours 2 (21 septembre) : Applications linéaires : définitions, propriétés, image et noyau, injectivité, surjectivité, théorème du rang. Matrices : définitions, propriétés, opérations sur les matrices, matrice de passage, matrice d'une application linéaire, matrices inversibles. Déterminants : définitions, propriétés. Transparents
• Cours 3 (28 septembre) : Déterminants et bases, déterminants et matrices inversibles, quelques propriétés des déterminants. Systèmes d'équations linéaires : introduction, définitions, propriétés, écriture matricielle, interprétation à l'aide d'une application linéaire, ensemble des solutions, existence des solutions, méthodes de résolutions : systèmes de Cramer, méthode du pivot de Gauss, application à l'inversion des matrices. Transparents
• Cours 4 (5 octobre): Réduction des endomorphismes : introduction, définitions, propriétés, vecteurs propres, valeurs propres, sous-espaces propres, polynôme caractéristique, diagonalisation, théorème de Cayley-Hamilton, trigonalisation. Transparents
• Cours 5 (12 octobre) : Espace vectoriel muni d’un produit scalaire, diagonalisation des matrices symétriques et hermitiennes : Introduction, produit scalaire (cas réel et complexe), quelques propriétés, orthogonalité, projection orthogonale, bases orthonormées, orthonormalisation, procédé de Gram-Schmidt. Transparents
• Cours 6 (19 octobre) : Diagonalisation des matrices symétriques et hermitiennes. Formes quadratiques : Introduction, définitions, propriétés, écriture matricielle, expression analytique, rang et noyau, bases q-orthogonales. Transparents
• Cours 7 (26 octobre) : Méthode de réduction de Gauss, signature, diagonalisation simultané. Suites et séries numériques : suites numériques, définitions, convergence, opérations sur les suites, comparaison, suites arithmétiques, suites géométriques, suites monotones; séries numériques : définitions, séries géométriques, la série harmonique, séries de Riemann, opérations sur les séries, condition nécessaire de convergence, convergence absolue. Transparents
• Cours 8 (2 novembre) : Séries à termes positifs, critères de comparaison, règle de d'Alembert, règle de Cauchy, séries alternées, règle des séries alternées. Suites et séries de fonctions : suites de fonctions, définitions, exemples, convergence simple, convergence uniforme, convergence et continuité, intégration et dérivabilité. Transparents
• Cours 9 (9 novembre) : Séries de fonctions : convergence simple, uniforme, reste partiel, convergence normale, liens entre les différentes formes de convergence; Séries entières : définition, rayon de convergence, règle de Cauchy, règle de D'Alembert, propriétés fonctionnelles; Séries entières : exemple d'application aux équations différentielles, développement d'une fonction en série entière, série de Taylor-Maclaurin, condition suffisante de convergence, application aux équations différentielles. Transparents.
• Cours 10 (16 novembre) : Séries de Fourier : Introduction, séries trigonométriques, périodicité, convergence, écriture complexe, calcul des coefficients; séries de Fourier : définition, Théorème de Dirichlet, périodicité et intégrales, parité et intégrales, applications définies sur un intervalle fermé et borné. Transparents
• Cours 11 (23 novembre) : Inégalité de Bessel et égalité de Parseval, interprétation géométrique et vectorielle. Notions sur les équations aux dérivées partielles : quelques rappels, équations des ondes, formule de D'Alembert, solutions à variables séparées, séries de Fourier, équation de Laplace, équation de Poisson, solutions à variables séparées, équation de la chaleur, exercice d'application des séries de Fourier à l'équation des ondes. Transparents
• Cours 12 (30 novembre) : Révision : Fiche 7 (Exo 7), Fiche 8 (Exo 19), Fiche 9 (Exo 5). Corrigé

Fiche 1 : Espaces vectoriels, applications linéaires

Fiche 2 : Matrices, déterminants

Fiche 3 : Systèmes linéaires

Fiche 4 : Réduction des endomorphismes

Fiche 5 : Produit scalaire, diagonalisation

Fiche 6 : Formes quadratiques, coniques

Fiche 7 : Suites et séries numériques

Fiche 8 : Suites et séries de fonctions, séries entières

Fiche 9 : Séries entières

Fiche 10 : Séries de Fourier

Fiche 11 : Séries de Fourier (suite)

Fiche 12 : EDP et séries de Fourier

• Claude Deschamps, André Warusfel. Mathématiques, tout-en-un, 1ère année MP, Dunod.
• Claude Deschamps, André Warusfel. Mathématiques, tout-en-un, 2ème année MP, Dunod.

• CC1 en TD. Date : 12 octobre (16h15-17h15). Le contrôle portera sur les trois premiers cours pour ce qui est des questions de cours et sur les trois premières fiches pour ce qui est des exercices. Sujet(Corrigé)
• CC2 en TD. Date : 09 novembre (16h15-17h15). Le contrôle portera sur les cours 4, 5 et 6 pour ce qui est des questions de cours et sur les fiches 4, 5 et 6 pour ce qui est des exercices. (Sujet)(Corrigé)
• CC3 en TD. Date : 07 décembre (16h15-17h15). Le contrôle portera sur les cours 7 (sauf la partie algèbre), 8, 9 et 10 pour ce qui est des questions de cours et sur les fiches 7, 8, 9 et 10 pour ce qui est des exercices. Sujet(Corrigé)
• CCF le 04 janvier (à 10h30, d'une durée de 2h). Le contrôle portera sur les fiches : 4,5,7,8 (seulement la partie sur les séries entières),9,10 et 11. Il n'y aura pas de question de cours. (Sujet) (Corrigé)

• Petit manuel de bonne rédaction mathématique, par Christophe Bertault.
• Pour parfaire certains prérequis : le livre d'Alain Soyeur, François Capaces et Emmanuel Vieillard-Baron.
• Cours sur les coniques Transparents.
• Quelques exercices corrigés : Corrigé des exercices 4, 5 et 6 de la fiche 1, Corrigé des exercices 13, 15, 18 et 19 de la fiche 2, Corrigé de l'exercice 3 (question 1) de la fiche 3, Espaces vectoriels, Applications linéaires, matrices, déterminants, Systèmes linéaires, Corrigé des exercices 3 et 4 de la fiche 4, Corrigé de l'exercice 3 de la fiche 6, Corrigé de l'exercice 2 de la fiche 6, Corrigé des exercices 3 et 4 de la fiche 8, Corrigé des exercices 1, 2 et 3 de la fiche 10, Corrigé de quelques exercices de la fiche 12, Exercices corrigés sur les séries numériques, Exercices corrigés sur les séries entières, Exercices corrigés sur les séries entières 2, Méthodes mathématiques et exercices pour PCSI.
• Archive CC (Automne 2015) : CC1(Corrigé), CC2(Corrigé), CC3(Corrigé), CCF(Corrigé).
• Archive CC (Printemps 2014) : CC1(Corrigé), CC2(Corrigé), CC3(Corrigé), CCF(Corrigé).
• Archive CC (Automne 2014) : CC1(Corrigé), CC2(Corrigé),CC3(Corrigé), CCF(Corrigé).

1. Algèbre linéaire : Espaces vectoriels, Applications linéaires, Matrices, Déterminants, Systèmes linéaires, Réduction des endomorphismes, Espace vectoriel muni d'un produit scalaire : Diagonalisation des matrices symétriques et hermitiennes, Formes quadratiques : Coniques.
2. Suites et séries numériques et de fonctions : Suites et séries numériques, Séries entières, Séries de Fourier.
3. Notions sur les équations aux dérivées partielles : Equation de la corde vibrante avec conditions initiales et conditions aux bords (formule de d'Alembert), quelques aperçus sur d'autres équations linéaires (Laplace, Poisson, équation de la chaleur).