8 sept : Chapitre 1 : Déterminants. Définition par récurrence, premières propriétés. Déterminant comme forme n-linéaire alternée.
15 sept : Groupe Symétrique : définition d'une permutation, notation en 2 lignes, définition d'un cycle, du support d'une permutation. Écriture d'un cycle comme produit de cycles à supports disjoints. Écriture d'un cycle comme produit de transpositions. Définition de la signature, exemples.
22 sept : Propriétés de la signature. Définition du déterminant par les permutations. Déduction des propriétés suivantes : det A^t=det A, det (AB)=(det A) (det B). Développement du déterminant par rapport à une ligne ou une colonne quelconque. Calcul de l'inverse d'une matrice par la règle de Cramer.
29 sept : Formules de Cramer, déterminant des matrices diagonales par blocs. Chapitre 2 : Valeurs propres, vecteurs propres. Définition des valeurs propres, vecteurs propres, espace propre. Calcul des valeurs propres, polynôme caractéristique, exemples.
6 oct : Définition d'un endomorphisme diagonalisable, exemples. Rappels somme directe espaces vectoriels. Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres différentes sont en somme directe. Si le polynôme caractéristique est scindé a racines simples l'endomorphisme est diagonalisable. Définition de la multiplicité algébrique et géométrique.
13 oct : Preuve de deux lemmes : les espaces propres d'un endomorphisme u sont stables par u et pour tout sous-espace vectoriel F stable par u le polynôme caractéristique P(u|F) divise P(u). Exemples. Théorème de caractérisation des endomorphismes diagonalisables : u diag. ssi P(u) scindé et pour chaque valeur propre λ, mult_alg(λ)=mult_geom(λ). Applications de la diagonalisation : calcul des puissances d'une matrice, résolution de systèmes différentiels linéaires, calcul du terme général d'une suite récurrente linéaire. Exemples.
20 oct : Trigonalisation. Exemples. Critère de trigonalisation. Trace et déterminant d'un endomorphisme, si u est trigonalisable la trace est la somme des valeurs propres et le déterminant le produit. Méthode de trigonalisation. Applications.
3 nov : Chapitre 3 : Polynôme minimal. Définition des polynômes d'endomorphismes, exemples. Polynomes annulateurs : déf, tout endomorphisme u d'un espace vectoriel de dimension finie possède un polynôme annulateur, les valeurs propres de u sont des racines de tous les polynômes annulateurs de u. Lemme de décomposition en noyaux.
10 nov : Définition du polynôme minimal, existence, unicité, divise tout polynôme annulateur. Théorème : un endomorphisme est diagonalisable ssi son polynôme minimal est scindé à racines simples. Théorème de Cayley-Hamilton (preuve avec la comatrice des cofacteurs).
17 nov : PARTIEL.
24 nov : Calcul du polynôme minimal. Chapitre 4 : Décomposition spectrale des endomorphismes. Matrices nilpotentes, caractérisation par le polynôme minimal de la forme X^k, valeurs propres nulles. Définition des espaces caractéristiques de u dans End(E) dont le polynome caractéristique est scindé, propriétés : stables par u, ils sont en somme directe et leur somme est l'espace E, dimension = multiplicite algébrique de la valeur propre correspondante. Définition des projecteurs spectraux. Décomposition de Dunford : énoncé du théorème et quelques éléments de la démonstration.
1 dec : Calcul des projecteurs spectraux. Applications de la décomposition spectrale : calcul des puissances d'une matrice, la fonction exponentielle.
8 dec : Révisions.