Cours et travaux dirigés par Maria Carrizosa (carrizosa[at]math.univ-lyon1.fr) & Thomas Blossier (blossier[at]math.univ-lyon1.fr) Bur 239 Bâtiment Braconnier
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CC jeudi 7 novembre (
sujet)
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Programme du cours
1. Arithmétique élémentaire
Anneau euclidien (Z,+,x) : divisibilité, nombres premiers, division euclidienne, PGCD, algorithme d'Euclide, lemme de Gauss, PPCM, décomposition d'un entier en nombres premiers.
Arithmétique des congruences : congruence, les anneaux quotients Z/nZ, indicatrice d'Euler, théorème des restes chinois.
2. Groupes
Groupes, sous-groupes, morphismes, isomorphismes.
Exemples (en cours-TD) : groupe des racines n-ième l'unicté; centre du groupe linéaire; groupe orthogonal en dimension 2; groupe des isométries du carré.
Groupe symétrique : décomposition en cycles à supports disjoints, ordre d'une permutation (cf fiche 3 cours-TD).
Théorème de Lagrange, sous-groupes distingués, groupes quotients, théorème d'isomorphisme de Noether.
3. Anneaux de polynômes / Anneaux euclidiens
Anneaux, corps, exemples, morphismes, caractéristique, anneaux intègres, corps de fractions.
Anneaux de polynômes : définition, degré, division euclidienne, racines, polynômes scindés, rappel du théorème de d'Alembert-Gauss, polynôme dérivé et racines multiples.
Anneaux euclidiens : définition, PGCD, algorithme d'Euclide, identité de Bézout, lemme de Gauss, irréductibles, anneaux factoriels.
Critères d'irréductibilité dans Z[X] et Q[X] : polynômes primitifs de Z[X], Z[X] est factoriel, critère d'Eisenstein, réductions modulo p.
Fiches de TD
Fiche 1 : Arithmétique élémentaire.
Fiche 2 : Généralités sur les groupes - Groupes de matrices.
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Fiche 4 : Groupes : ordres, sous-groupes distingués, quotients.
Fiche 5 : Anneaux de polynômes / Anneaux euclidiens.
Références
D. Guin, Algèbre (Tome 1 : Groupes et anneaux), Belin (1997)
D. Guin, T. Hausberger, Algèbre I (Groupes, corps et théorie de Galois), EDP Sciences (2008)
F. Liret, D. Martinais, Algèbre 1ère année, Dunod (2003)
Archive :
Page du cours Automne 2012