Algèbre pour la géométrie et l'arithmétique - semestre d'automne 2011

Cours et travaux dirigés par Maria Carrizosa (carrizosa[at]math.univ-lyon1.fr) & Thomas Blossier (blossier[at]math.univ-lyon1.fr) Bur 239 Bâtiment Braconnier

Programme du cours

1. Arithmétique

• Entiers naturels et relatifs : Axiomes de N, opérations + et x, ordre, construction de Z.
• La division euclidienne dans Z : divisibilité, division euclidienne, pgcd, algorithme d'Euclide.
• Sous-groupes additifs de Z et applications : sous-groupes, théorème de Bézout, lemme de Gauss.
• Décomposition d'un entier en nombres premiers.
• Arithmétique des congruences : congruence, les groupes quotients Z/nZ, indicatrice d'Euler, théorème des restes chinois.

2. Groupes

• Rappels : groupes, sous-groupes, sous-groupes engendrés.
• Groupe symétrique : cycles (décomposition canonique), ordres, conjugaisons, signature.
• Ordres, classes, indices, sous-groupes normaux, groupes quotients, théorème de Noether.
• Actions de groupes : exemples, stabilisateurs, orbites, formule des classes.

3. Anneaux de polynômes

• Anneaux, corps : définition, exemples, sous-anneaux, divisibilité et anneaux intègres.
• Anneaux de polynômes : définition, degré, racines, division euclidienne.
• Anneaux euclidiens : définition, algorithme d'Euclide, identité de Bézout.
• Irréductibilité dans A[X] (A intègre), K[X] (K corps), Q[X] et Z[X]; critère d'Eisenstein et critère de réduction modulo p pour Z[X].
• Existence et unicité de la factorisation dans l'anneau euclidien K[X].
• Anneaux factoriels : définition; exemple; équivalence unicité, lemme d'Euclide, lemme de Gauss; A[X] factoriel pour A factoriel.

Fiches de TD

• Fiche 1 : Arithmétique élémentaire
• Fiche 2 : Groupe symétrique
• Fiche 3 : Sous-groupes, morphismes, classes
• Fiche 4 : Sous-groupes normaux, quotients
• Fiche 5 : Anneaux de polynômes
• Fiche 6 : Anneaux de polynômes II
• Fiche 7 : Anneaux factoriels. Idéaux
• Problème : Sommes de deux carrés

Contrôles continus

• Premier contrôle vendredi 14 octobre 2011 : sujet
• Second contrôle le jeudi 17 novembre 2011 : sujet

Contrôle final

• Epreuve le jeudi 19 janvier 2012 : sujet

Références

1. D. Guin, Algèbre (Tome 1 : Groupes et anneaux), Belin (1997)
2. D. Guin, T. Hausberger, Algèbre I (Groupes, corps et théorie de Galois), EDP Sciences (2008)
3. F. Liret, D. Martinais, Algèbre 1ère année, Dunod (2003)