Algèbre III - semestre d'automne 2010

<html> <h4>Examen partiel :</h4> lundi 8 novembre 2010, salle thémis 7, de 13h45 à 15h45

Programme : chapitres I,II,III,IV <a STYLE=“text-decoration:none” href=“http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/MATH-III-ALG/bareme.pdf”> sujet avec barême (.pdf)</a>, <a STYLE=“text-decoration:none” href=“http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/MATH-III-ALG/partiel2010-corr.pdf”> corrigé (.pdf)</a>

<h4>Examen final :</h4> JEUDI 20 JANVIER 2011, 13h45-15h45, amphi Astrée 13 documents interdits, programme : tout ce qui a été vu en cours, en td et les parties 1,2,3 de la fiche de TP SAGE № 1 le sujet comportera une question sur les tp sage. <a STYLE=“text-decoration:none” href=“http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/MATH-III-ALG/examen-final_2011_bar.pdf”> sujet avec barême provisoire (.pdf)</a>, <a STYLE=“text-decoration:none” href=“http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/MATH-III-ALG/examen-final_2011_corr.pdf”> corrigé (.pdf)</a>

Consultation des copies : le mercredi 2 février de 10h à midi dans l'amphi Jussieu

<center> <a STYLE=“text-decoration:none” href=“http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/MATH-III-ALG/notes-cours.pdf”> Notes de cours (.pdf)</a></center> Coefficients : khôlles : 0,3 (min-max)^{<a href=“#note1”>[1]</a>} ; partiel : 0,3 (ou 0,15) ; examen final : 0,4 (ou 0,55)

Quelques références : (par ordre croissant de difficulté) :

&mdash Joseph Grifone, Algèbre linéaire ;

&mdash Élie Azoulay, Jean Avignant, Mathématiques, tome 4, algèbre ;

&mdash Xavier Gourdon, Les maths en tête, Algèbre.

<h4>Emploi du temps :</h4> &mdash cours : les lundis de 13h45 à 15h45 en thémis 7, 1er cours : lundi 13 septembre 2010 ; dernier cours : le lundi 13 décembre 2010 &mdash td : les vendredis de 8h15 à 11h30, 1ers td : le vendredi 24 septembre 2010 ; derniers td : le vendredi 10 décembre

    &mdash groupe A : préfa B1, Ph. Caldero ;<br>
    &mdash groupe B : Darwin D78, Th. Eisenkoelbl ;<br>
    &mdash groupe C : Darwin D80,  K. Iohara ;<br>
    &mdash groupe D : Grignard 25, S. Iosti.<br><br>

&mdash tp sage : le vendredis 17/12, 7/1 et 14/1 de 8h15 à 11h30 ;

    &mdash groupe A : le 17/12 en Lippmann 229, les 7/1 et 14/1 en Grignard F ;<br>
    &mdash groupe B :  le 17/12 en Grignard D, les 7/1 et 14/1 en Grignard B ;<br>
    &mdash groupe C : le 17/12 en Lippmann 234, le 7/1 en Lippmann 235 et le 14/1 en Lippmann 230 ;<br>
    &mdash groupe D :  le 17/12 en Lippmann 230, le 7/1 en Lippmann 238 et le 14/1 en Lippmann 234.<br><br>
    
    
  <br>

Pour les étudiants : votre groupe de td est indiqué sur <a href=“http://tomuss.univ-lyon1.fr”>tomuss.</a>

   <i> Archives : </i><br>

— fiches de td de l'an dernier : <a href=http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/MATH-III-ALG/td1.pdf> fiche 1</a>, <a href=http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/MATH-III-ALG/td2.pdf> fiche 2</a>, <a href=http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/MATH-III-ALG/td3.pdf> fiche 3</a>

– fiches de tp : <a href=http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/MATH-III-ALG/tp1.pdf> fiche 1</a>, <a href=http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/MATH-III-ALG/tp2.pdf> fiche 2</a>, <a href=http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/MATH-III-ALG/tp3.pdf> fiche 3</a>

—sujets d'examens : <a href=http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/MATH-III-ALG/archivemathiiialg.pdf> archives jusqu'en 2008</a>, <a href=http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/MATH-III-ALG/archive2009-2010.pdf> archives 2009 et 2010</a>

   
   <br><br>

&mdash khôlles :les lundis de 16h à 18h, début des khôlles : le lundi 27 septembre 2010 ;

 &mdash groupe K1 : Omega C2, C. Audiard (audiard[arroba]math.univ-lyon1.fr) (jusqu'au 8/11/10) ;<br>
   -------------------------- J. Deschamps (julien.deschamps[arroba]ens-lyon.fr) (à partir du 6/12/10);<br>    
 &mdash groupe K2 : Thémis 43, R. Crétois (cretois[arroba]math.univ-lyon1.fr) ;<br>
 &mdash groupe K3 : Omega D1, É. Orquera-Pozzi (orquera[arroba]math.univ-lyon1.fr) ;<br>
 &mdash groupe K4 : Darwin B1, A. Tchoudjem (tchoudjem[arroba]math.univ-lyon1.fr) ;<br>
 &mdash groupe K5 : Omega D2, N. Bovetto (bovetto[arroba]math.univ-lyon1.fr) ;<br>
 &mdash groupe K6 : Déambu. s5, A. Blandignères (blandigneres[arroba]math.univ-lyon1.fr).<br><br>

Les premières convocations aux khôlles sont sur <a href=“http://tomuss.univ-lyon1.fr”>tomuss …</a>

ATTENTION : les salles de khôlles sont celles indiquées ci-dessus et non celles qui sont sur le site ADE <h4> Déroulement du cours :</h4>

Chapitre I : Rappels sur les matrices

multiplication de deux matrices, associativité du produit, image et noyau d'une matrice, théorème du rang, rang d'une matrice (13/9/10), transformations élémentaires sur les lignes et les colonnes, rang des lignes = rang des colonnes, si A matrice m x n, alors A injective &hArr rg A =n &hArr A inversible à gauche, A surjective &hArr rg A = m &hArr A inversible à droite, matrices d'un endomorphisme, formules de changement de bases (20/9/2010).

Chapitre II : Déterminant

déterminant 2 x 2, déterminant n x n, déterminant des matrices triangulaires supérieures (par blocs), développement par rapport à une ligne et une colonne, comatrice, inverse d'une matrice en fonction de la comatrice (27/9/10), déterminant d'un endomorphisme.

Chapitre III : Valeurs propres

Vecteurs propres, valeurs propres, polynôme caractéristique, trace, matrices compagnons, spectre = ens. des valeurs propres = ens. des racines du polynôme caractéristique (4/10/10), espaces propres, endomorphismes et matrices diagonalisables, multiplicités algébriques et géométriques, diagonalisable &hArr polynôme caractéristique scindé et m_a = m_g, endomorphismes et matrices trigonalisables(11/10/10), trace et déterminant en fonction des valeurs propres.

Chapitre IV : Polynômes d'endomorphismes 1) définition de P(u) et P(A) pour un polynôme P, un endomorphisme u et une matrice A. 2) Théorème de Cayley-Hamilton. 3) Polynôme minimal : définition : m_u, m_A, calcul, diagonalisable &hArr m_u scindé à racines simples (18/10/10). Chapitre V : Décomposition spectrale 0) lemme des noyaux 1) sous-espaces caractéristiques, E = &oplus_i E^λi , multiplicités des valeurs propres dans le polynôme caractéristique et dans le minimal (25/10/10) 2) projecteurs spectraux 3) Décomposition de Dunford-Jordan (existence-unicité) 4) Blocs de Jordan, matrices de Jordan (définition) (15/11/10) 5) réduction de Jordan des matrices nilpotentes, forme de Jordan des matrices quelconques : existence et unicité.

Chapitre VI : Puissances de matrices

Comment calculer des puissances de matrices avec les projecteurs spectraux : cas diagonalisable, cas général (22/11/10) Chapitre VII : Exponentielle de matrices

Définition comme série, méthode de calcul dans le cas diagonalisable puis dans le cas général avec les projecteurs spectraux, exemples, applications : résolution des systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants (29/11/10), résolution de Y'=AY+B, et de y^(p)+a_1y^(p-1)+…+a_p y =0 . . Chapitre VIII : Facteurs invariants 1) réduction des matrices à coefficients entiers, facteurs invariants(6/12/10) 2) facteurs invariants d'une matrice : P_1,…,P_r, deux matrices sont semblables ssi elles ont les mêmes facteurs invariants, réduction de Frobenius (diagonale de blocs de matrics compagnons, endomorphismes cycliques, dimension du sous-espaces des endomorphismes qui commutent à un endomorphisme donné. Fin ducours (13/12/10).

<a name=“note1”> [1] </a> règle du min-max : pour les notes de khôlles, on ne tient pas compte de la note maximale ni de la note minimale et on fait la moyenne des 2 notes restantes

<h4> Programme des khôlles</h4> lundi 27/9/10 : multiplication des matrices, rang d'une matrice, matrices d'un endomorphisme, formules de changement de bases lundi 4/10/10 : formules de changement de base, rang d'une matrice, matrices d'un endomorphisme, déterminant, comatrice

lundi 11/10/10 : déterminant, comatrice, vecteurs propres, valeurs propres, polynôme caractéristique, matrices-compagnons.

lundi 18/10/10 : vecteurs propres, valeurs propres, espaces propres, polynôme caractéristique, endomorphismes et matrices diagonalisables, multiplicités géométriques et algébriques des valeurs propres. lundi 25/10/10 : vecteurs propres, valeurs propres, espaces propres, polynôme caractéristique, endomorphismes et matrices diagonalisables, multiplicités géométriques et algébriques des valeurs propres, polynôme minimal, critères de diagonalisabilité. lundi 8/11/10 : vecteurs propres, valeurs propres, espaces propres, polynôme caractéristique, endomorphismes et matrices diagonalisables, multiplicités géométriques et algébriques des valeurs propres, polynôme minimal, critères de diagonalisabilité, lemme des noyaux, sous-espaces caractéristiques. lundi 15/11/10 : vecteurs propres, valeurs propres, espaces propres, polynôme caractéristique, endomorphismes et matrices diagonalisables, multiplicités géométriques et algébriques des valeurs propres, polynôme minimal, critères de diagonalisabilité, lemme des noyaux, sous-espaces caractéristiques. lundi 22/11/10 : polynôme caractéristique, endomorphismes et matrices diagonalisables, multiplicités géométriques et algébriques des valeurs propres, polynôme minimal, critères de diagonalisabilité, lemme des noyaux, sous-espaces caractéristiques, projecteurs spectraux, décomposition de Dunford-Jordan. lundi 29/11/10 : polynôme caractéristique, endomorphismes et matrices diagonalisables, multiplicités géométriques et algébriques des valeurs propres, polynôme minimal, critères de diagonalisabilité, lemme des noyaux, sous-espaces caractéristiques, projecteurs spectraux, décomposition de Dunford-Jordan, calculs de puissances de matrices. lundi 6/12/10 : sous-espaces caractéristiques, projecteurs spectraux, décomposition de Dunford-Jordan, calculs de puissances de matrices, calculs d'exponentielles de matrices, résolutions de systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants (homogènes) Y'=AY. lundi 13/12/10 : sous-espaces caractéristiques, projecteurs spectraux, décomposition de Dunford-Jordan, calculs de puissances de matrices, calculs d'exponentielles de matrices, résolutions de systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants (homogènes) Y'=AY, résolution de Y'=AY+B et de y^(p)+a_1y^(p-1)+…+a_p y =0. lundi 3/1/11 : sous-espaces caractéristiques, projecteurs spectraux, décomposition de Dunford-Jordan, calculs de puissances de matrices, calculs d'exponentielles de matrices, résolutions de systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants (homogènes) Y'=AY, résolution de Y'=AY+B et de y^(p)+a_1y^(p-1)+…+a_p y =0, matrices compagnons. lundi 10/1/11 : sous-espaces caractéristiques, projecteurs spectraux, décomposition de Dunford-Jordan, calculs de puissances de matrices, calculs d'exponentielles de matrices, résolutions de systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants (homogènes) Y'=AY, résolution de Y'=AY+B et de y^(p)+a_1y^(p-1)+…+a_p y =0, matrices compagnons.

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