CONTROLE FINAL : le jeudi 20 janvier 2011 de 8h00 à 10h00. Programme: toutes les leçons.
Corrigé du CCF :math1algccfcorrige.pdf
Cours de Philippe Malbos
Cours du 14 septembre Leçon I : Vocabulaire et notions sur les entiers. Propositions mathématiques, prédicats, calcul élémentaire sur les propositions, l'implication, raisonnement direct, par contraposée, par l'absurde. Vocabulaire relatif aux ensembles, appartenance, inclusion, égalité, intersection, réunion, définition en compréhension vs en extension. Les entiers naturels, ordre naturel sur les entiers, propriétés d'existence de plus grand et plus petit élément sur des ensembles d'entiers, le(s) raisonnement(s) par récurrence. Rudiment d'arithmétique dans Z, divisibilité, propriétés élémentaires.
Cours du 21 septembre Leçon II : La division euclidienne et premières applications. Théorème de la division euclidienne, plus grand commun diviseur, l'algorithme d'Euclide, le théorème de Bézout. Entiers premiers entre eux, l'identité de Bézout et premières conséquences. Le théorème de Gauss. Plus petit commun multiple. (Leçon à terminer)
Cours du 28 septembre Fin de la Leçon II : ppcm de deux entiers premiers entre eux. Factorisation de deux entiers par leur pgcd. Applications aux systèmes de numération, écriture d'un entier dans une base. Équations diophantiennes du premier degré.
Cours du 4 octobre Leçon III : Les nombres premier. Définition et premières propriétés. Lemme d'Euclide. Tout entier strictement supérieur à 1 admet un diviseur premier. Il existe une infinité de nombres premiers. Décomposition en produit de facteurs premiers. Applications, calcul du pgcd et ppcm.
Leçon IV : Congruences. Définition, premières propriétés : réflexivité, symétrie, transitivité, compatibilité avec le produit et la somme. Le petit théorème de Fermat et applications.
Cours du 11 octobre Fin de la leçon IV : applications du théorème de Fermat, le théorème des restes chinois, résolution de congruences (ax congru à b modulo n) et de systèmes de congruences (x congru à a modulo n et x congru à b modulo m).
Leçon V : La notion d'ensemble, une approche naïve. Quantificateurs universel et existentiel.
Cours du 18 octobre Suite de la Leçon V : La notion d'ensemble. Construction en extension et compréhension. Exemples fondamentaux de nombres. Appartenance. Ensemble vide. Paradoxe de Russel. Inclusion. Ensemble des parties. Opérations sur les ensembles : réunion, intersection, différence, produit cartésien,
Cours du 25 octobre Fin de la leçon V : les applications. Définitions : graphe, domaine, codomaine, image, image réciproque, fibre,… Notions d'injectivité, surjectivité, bijectivité. Exemples. Composées d'applications. Bijection réciproque et propriétés.
Cours du 8 novembre Leçon VI : Dénombrements. Ensembles équipotents, ensembles finis. Il existe une injection de l'ensemble [n]={1,…,n} dans [m] si, et seulement si, n ≤ m. On a [n]=[m] si, et seulement si, n=m. Cardinal d'un ensemble. Propriétés sur les cardinaux. Si E est un ensemble fini équipotent à F, alors F est fini et les deux ensembles ont le même cardinal. Toute partie finie d'un ensemble fini est finie. Si f : E —> F est une application entre deux ensembles finis de même cardinal, alors f est injective si, et seulement si, f est surjective, si, et seulement si, f est bijective. Opérations sur les cardinaux : cardinal d'une réunion d'ensembles finis, cardinal d'un produit d'ensembles finis.
Cours du 15 novembre Suite et fin de la leçon VI. Cardinal de l'ensemble des applications entre deux ensembles finis. Nombre de bijections. Cardinal de l'ensemble des parties. Combinaison de k éléments parmi n. Propriétés élémentaires des combinaisons. Triangle de Pascal. Ensemble dénombrable. Une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable. L'ensemble des rationnels est dénombrable. Un produit fini d'ensembles dénombrables est dénombrable.
Cours du 22 novembre Leçon VII : lois de composition, structures de groupe et de corps. Loi de composition interne, exemples. Associativité, commutativité, distributivité. Élément neutre, unicité. Élément inversible, unicité de l'inverse. Calcul des puissances. Notion de groupe, exemples. Groupe abélien.
Cours du 29 novembre Suite de la leçon VII : produit cartésien de groupes, l'ensemble des applications d'un ensemble à valeurs dans un groupe est un groupe pour la loi induite. La structure de corps. Définition, exemples. Structure de corps sur R x R l'identifiant avec le corps C des complexes. Leçon VIII : relations binaires sur un ensemble. Définition de relation binaire, exemples. Réflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité. Relation d'équivalence, classe d'équivalence, ensemble quotient. L'ensemble des classes d'équivalence forme une partition.
A compléter…
Cours de Serge Parmentier
ACTUALITE.
SEANCE DE REVISION (Questions/Réponses): le vendredi 7 janvier de 8h15 à 9h45 en Amphi.
CORRIGE DU CC3:2010corrige.pdf
CC3 le vendredi 17 décembre à 8 h. programme: relations, dénombrement, complexes.
CC2 le mardi 2 novembre à 10 h Programme: arithmétique + applications:math1algcc22010.pdf
CORRIGE DU CC2:math1cc2corrige.pdf
CC1 le vendredi 15 octobre en amphi de 7h45 à 8h45.
CORRIGE DU CC1:2010corrige.pdf
Leçon 1 (du 17/09): Notations ensemblistes. Exemple du dictionnaire. Assertions. Disjonction (A ou B), conjonction (A et B), implication (B ou non (A)). L'ensemble des naturels N comme ensemble ordonné: majoration, minoration, plus grand et plus petit élément d'une partie. Enoncé des hypothèses (ordinales) sur N. Predicats P(x). Exemple du nombre de points d'intersection de n droites du plan en position générale. Principe de récurrence comme conséquence des hypothèses (ordinales) sur N.
fichier de la leçon 1:mathil1.pdf
Leçon 2 (du 23/09): un exemple de récurrence (forte): Tout entier admet un diviseur premier. Un exemple de preuve par l'absurde: Il y a une infinité de nombres premiers. Entiers premiers entre eux. pgcd et ppcm. Le théorème de division euclidienne. Algorithme d'Euclide pour le pgcd. Exemples de calcul du pgcd. Identité de Bézout, solutions particulières par Euclide et corollaires. Le lemme de Gauss.
fichier de la leçon 2:math1l2.pdf
Leçon 3 (du 01/10): quelques applications de Bézout et Gauss: points entiers d'une droite affine du plan, si un entier premier p divise un produit d'entiers il divise l'un des facteurs, si des entiers 2 a 2 étrangers divisent un entier b, leur produit divise aussi b. Théorème fondamental: tout entier n > 1 admet une décomposition en facteurs premiers unique à l'ordre des facteurs premiers près. Application aux diviseurs de n: forme d'un diviseur de n, nombres de diviseurs de n, pgcd et ppcm, exemples divers. Congruences: définition, propriétés (reflexivité, symétrie, transitivité), passage a la somme et au produit. Applications au calcul des restes, exemples.
fichier de la leçon 3: math1l3.pdf
Leçon 4 (du 08/10): le petit théorème de Fermat, les restes chinois, exemples. Ecritures symboliques : quel que soit/ il existe. Exemples. Produits d'ensembles, relations, applications. Injectivité et surjectivité.
Leçon 4 (suite) (du 15/10): applications injectives, surjectives et bijectives (suite).
Leçon 4 (fin) (du 22/10): bijections (suite), divers exemples, images directe et réciproque d'une partie par une application.
fichier de la leçon 4:math1alglecon4.pdf
Leçon 5 (du 29/10): relations d'équivalence, partition, relations d'ordre.
fichier de la leçon 5:math1l5.pdf
Leçon 6: Savoir compter (du 05/11): relation d'équipotence, ensembles finis, cardinal de la réunion disjointe et du produit cartésien de n ensembles finis, application au dénombrement des mots en un alphabet fini, dénombrement des applications, coefficients binomiaux et parties de cardinal p d'un ensemble fini E, cardinal de P(E), application aux relations binaires sur E. Ensembles dénombrables, Lemme de Cantor, P(N) n'est pas dénombrable.
fichier de leçon 6:math1l6.pdf
Leçon 7: Anneaux, corps, le plan complexe (du 19/11): lois de composition interne, associativité, élément neutre (s'il existe il est unique), élément inversible (si l'inverse existe il est unique), lois de groupe + premiers exemples, anneaux et corps, l'anneau des entiers relatifs Z, le corps des rationnels Q, le corps des réels R. le produit cartésien R x R est un corps. Notation complexe: le plan complexe C. Définitions usuelles: complexe conjugué, module. Racines deuxièmes d'un complexe.
Leçon 7 (suite): (du 26/11) argument d'un complexe, formule de Moivre, interprétation géométrique de la multiplication complexe, Théorème: tout nombre complexe non nul admet exactement n racines n-ièmes. Représentation des racines n-ièmes dans le plan: les racines n-ièmes sont les sommets d'un polygone régulier à n cotés. Exemples de construction à la règle et au compas: racines 3-ièmes et 4-ièmes de 1. Application des racines n-ièmes à la résolution d'équations. Exemple: (z-1)^6 + (z+1)^6= 0. Applications de la formule du binome et de la formule de Moivre aux identités trigonométriques.
fichier de la leçon 7:math1l7.pdf
Leçon 8: Les groupes: (du 03/12 et 10/12)
fichier de la leçon 8:math1groupe.pdf
Cours de Pascal Laine
Cours 1 : Entiers naturels : récurrences, coefficients binômiaux, tout ensemble non vide admet un minimum, tout ensemble non vide majoré admet un maximum. Arithmétique : Définition de diviseur et de multiple. Définition d'un nombre premier. Tout nombre est le produit de nombre premier.
Cours 2 : théorème d'Euclide. Division euclidienne. Définition des PGCD et des PPCM. Tout multiple de a et b est un multiple de M=PPCM(a,b), tout diviseur de a et b est un diviseur de D=PGCD(a,b). MD=ab. Identité de Bézout. Méthode de Gauss. Nombre premier entre eux. Théorème de Gauss. Si p et k sont premiers entre eux C_p^k est un multiple de p. Tout entier positif se décompose de façon unique en produit de puissance de nombres premiers. Définition de la congruence modulo n. Théorème de Fermat.
Devoir maison 1 :
devoir_maison_1_correction.pdf
Cours 3 :
Théorème des restes chinois.
Définitions ensemblistes, appartenance, inclusion, réunion, complémentaire, distributivité de l'inclusion et de la réunion. Cardinal, cardinal du nombre de parties d'un ensemble fini, partition, partition de A union B. Prochain contrôle continu Vendredi 8 Octobre.
Cours 4 : Cardinal de la réunion de deux ensembles. Différence symétrique, propriétés. Produit cartésien. Relation binaire, nombre de relation binaire. Relation réflexive, symétrique, antisymétrique et transitive,relations d'équivalence. Contrôle continu 1:
devoir_surveille_1_automne_2010_correction.pdf
devoir_maison_2_correction.pdf
Cours 5 : Classes d'équivalence, partition des classes d'équivalence, classes d'équvalences modulo n. Relations d'ordre, relation d'ordre total. Applications injectives, surjectives et bijectives. Cardinal de l'ensemble des applications de E dans F (pour des cardinaux finis). image d'un ensemble, image réciproque. Bijection réciproque. Complexes : définition, addition, somme et produit.
devoir_maison_3_automne_2010.pdf
Cours 6 : Associativité de la multiplication, inverse, distributivité. Forme trigonométrique, conjugué, critère pour être un réel, un imaginaire pur. Argument et module. Argument du conjugué, retour à l'inverse d'un complexe. Propriétés du module et des arguments. Inégalité triangulaire.
devoir_maison_4_correction.pdf
Cours 7 : Notation exponentielle. propriété de l'exponentielle complexe. Formule de Moivre, formules d'Euler. Racines n-ième de l'unité, leur somme est nulle. Racine “deuxième” (ou carré) d'un complexe. Equation du second degré.
devoir_maison_5_correction.pdf
Cours 8 : Fin des équartions du second degré. Cours sur les groupes. Loi interne, commutative, associative, élément neutre, symétrique. Unicité de l'élément neutre, du symétrique. Morphisme, isomorphisme. Propriétés des morphismes. Définition d'un groupe, simplification, inverse d'un produit. Exemple des bijections d'un ensemble fini dans lui-même pour n=1, n=2. (n=3 à venir).
devoir_maison_6_correction.pdf
Cours 9 :
Construction de la table du groupe des permutations d'un groupe à trois éléments. Sous-groupes, définition, différentes propriétés équivalentes. Sous-groupe du groupe S3. l'intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe. Les sous-groupes de Z sont les bZ.Retour au PPCM et au PGCD. Démonstration du théorème de Lagrange.
devoir_maison_7_automne_2010_correction.pdf
Cours 10 :
Définition du noyau d'un morphisme, le noyau est un sous-groupe, morphisme injectif. Puissance et ordre d'un élément. Sous-groupe engendré par un élément. Anneaux et corps, généralités. Anneaux et corps Z/nZ. Petit théorème de Fermat
Cours 11 : Revision complexes et groupes en vue du DS 3.
Page de l'UE au semestre d'automne 2009 : ici.