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profpmi
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profpmi [Algèbre]
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-Groupe P6 [au 08/02, après ​TD sur 15] :+Groupe P6 [au 15/02, après ​TD sur 15] :
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   * Fiche 1 : Exercices 1 à 5, 7 (à part la c., correction distribuée),​ 9 et 10 (exercice 8 correction distribuée).   * Fiche 1 : Exercices 1 à 5, 7 (à part la c., correction distribuée),​ 9 et 10 (exercice 8 correction distribuée).
   * Fiche 2 : Exercices 1 à 9 sauf le 8.   * Fiche 2 : Exercices 1 à 9 sauf le 8.
-  * Fiche 3:  Exercices 1 à 3+  * Fiche 3:  Exercices 1 à 7, début de l'​exercice 8.
  
-Groupe P7 [au 08/02, après ​TD sur 15] :+ 
 + 
 +Groupe P7 [au 15/02, après ​TD sur 15] :
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   * Fiche 1 : Exercices 1 à 5, 7 (à part la c., correction distribuée),​ 9 et 10 (exercice 8 correction distribuée).   * Fiche 1 : Exercices 1 à 5, 7 (à part la c., correction distribuée),​ 9 et 10 (exercice 8 correction distribuée).
   * Fiche 2 : Exercices 1 à 9 sauf le 8.   * Fiche 2 : Exercices 1 à 9 sauf le 8.
-  * Fiche 3:  Exercices 1 à .+  * Fiche 3:  Exercices 1 à 7, début de l'​exercice 8.
  
  
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    * //6 février 2019// Preuve de l'​existence et l'​unicité de l'​adjoint. Dans une base orthonormée,​ la matrice de l'​adjoint de u est la transposée de la matrice de u. Exemple du calcul de l'​adjoint d'un endomorphisme donné. Premières propriétés des adjoints : pour f,g ∈ End(E), k∈ R, (f*)*=f, (f+g)*=f*+g*,​ (kf*)=k(f)*,​ (fg)*=g*f*, si f inversible, (f^{-1})*=(f*)^{-1}. Définition des endomorphismes symétriques,​ orthogonaux et normaux. Différentes caractérisations des endomorphismes orthogonaux (conservent la norme, conservent le produit scalaire). Propriétés des matrices associées aux endomorphismes symétriques et orthogonaux. Retour sur la projection orthogonale : elle est symétrique (pas orthogonal) et la symétrie orthogonale (symétrique et orthogonale). Noyau et image de l'​adjoint : Ker(u*) est l'​orthogonal de Im(u), Im(u*) est l'​orthogonal de Ker(u). Adjoint et sous-espaces stables : si F est un sous-espace stable par u alors l'​orthogonal de F est stable par u* et son corollaire : si F stable par u et u est symétrique ou orthogonal alors l'​orthogonal de F est stable par u.       * //6 février 2019// Preuve de l'​existence et l'​unicité de l'​adjoint. Dans une base orthonormée,​ la matrice de l'​adjoint de u est la transposée de la matrice de u. Exemple du calcul de l'​adjoint d'un endomorphisme donné. Premières propriétés des adjoints : pour f,g ∈ End(E), k∈ R, (f*)*=f, (f+g)*=f*+g*,​ (kf*)=k(f)*,​ (fg)*=g*f*, si f inversible, (f^{-1})*=(f*)^{-1}. Définition des endomorphismes symétriques,​ orthogonaux et normaux. Différentes caractérisations des endomorphismes orthogonaux (conservent la norme, conservent le produit scalaire). Propriétés des matrices associées aux endomorphismes symétriques et orthogonaux. Retour sur la projection orthogonale : elle est symétrique (pas orthogonal) et la symétrie orthogonale (symétrique et orthogonale). Noyau et image de l'​adjoint : Ker(u*) est l'​orthogonal de Im(u), Im(u*) est l'​orthogonal de Ker(u). Adjoint et sous-espaces stables : si F est un sous-espace stable par u alors l'​orthogonal de F est stable par u* et son corollaire : si F stable par u et u est symétrique ou orthogonal alors l'​orthogonal de F est stable par u.   
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 +   *//13 février 2019// Les valeurs propres d'un endomorphisme symétrique sont toutes réelles. Théorème spectral : si u est un endomorphisme symétrique de E, il existe une base orthonormée de vecteurs propres. Version matricielle du theorème. Corollaire : les espaces propres de u (symetrique) sont orthogonaux 2 à 2. Exemples. Endomorphismes positifs et définis positifs : déf, equivalence avec la positivité de ses valeurs propres. Étude de l'​endomorphisme u*u : sym. positif, déf positif ssi u inversible, Ker(u*u)=Ker(u),​ Im(u*u)=Im(u*). Racine carrée d'un endomorphisme sym. positif (existence, unicité). Décomposition polaire (existence, unicité). ​  
  
  
Ligne 358: Ligne 362:
   * Fiche 2 : exercices 1, 3 à 6, 9 et 12.   * Fiche 2 : exercices 1, 3 à 6, 9 et 12.
  
->Groupe P8 (au 8/02 après ​TD sur 15)+>Groupe P8 (au 15/02 après ​TD sur 15)
  
   * Fiche 1 : tout sauf l'ex. 6.   * Fiche 1 : tout sauf l'ex. 6.
-  * Fiche 2 : ex1--7, 9, 10, 12, 13, 14.+  * Fiche 2 : Tout sauf 8 et 11. 
 +  * Fiche 3 : Ex. 7, 8 et 10.
  
  
 
 
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