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 +====== Semestre de printemps ======
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 + ===== Analyse =====
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 +Les cours d'​analyse sont assurés par [[dejou@math.univ-lyon1.fr|Gaelle Dejou]].
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 +   *//19 décembre 2018// : Séries de fonctions : vocabulaire de base, convergence simple, absolue simple, uniforme. Caractérisation de la convergence uniforme avec la suite de fonctions des restes, exemples. Critère de Cauchy uniforme. Convergence normale, lien avec les autres modes de convergence. ​
 +   *//20 décembre 2018// : Séries de fonctions : Méthodes pratiques d'​étude de la convergence normale/​uniforme. Théorème de continuité pour les séries de fonctions, théorème de la double limite (interversion lim/​série),​ théorème d'​interversion série-intégrale (dans le cas où l'on intègre sur un segment).
 +   *//17 janvier 2019// : Fin des séries de fonctions : théorème d'​intégration terme à terme (dans le cas où l'on intègre sur une intervalle quelconque),​ théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions (cas de fonctions de classe C^1) et extension aux fonctions de classe C^p. Exemples. Début des séries entières : définition d'une série entière, Lemme d'​Abel,​ deux définitions équivalentes pour le rayon de convergence R (exemples de détermination de rayons).
 +   *//23 janvier 2019// : Séries entières : Lien avec la convergence de la série de terme général a_n z^n pour |z| < R et > R (où R est le rayon de convergence),​ détermination pratique du rayon : règles de D'​Alembert,​ de Cauchy, (les démonstrations de ces deux règles sont à connaître),​ exemples des séries lacunaires. Opérations sur les séries entières : somme et produit de deux séries entières (avec minoration du rayon de convergence).
 +   *//30 janvier 2019// : Séries entières : série entière dérivée (même rayon de convergence). Convergence normale d'une série entière sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence. Séries entières d'une variable réelle :​continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence,​ intégration terme à terme sur tout segment inclus dans D(0,R), série entière primitive (lien avec la primitive de la fonction somme). La fonction somme d'une série entière de rayon >0 est de classe infinie sur D(0,R) et dérivable terme à terme. Expression des coefficients d'une série entière à l'aide de la fonction somme, identification de deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de 0. Fonction exponentielle complexe (définition et premières propriétés).
 +   *//6 février 2019// : Retour sur les propriétés de la fonction exponentielle complexe. Fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques complexes. Fonctions développables en série entière : définition (en 0 et en un point quelconque),​ cas des fonctions d'une variable réelle : série de Taylor pour une fonction de classe infinie, si la fonction est développable en série entière en x_0, alors son DLSE est donné par sa série de Taylor (unicité du DLSE). Opérations sur les fonctions développables en série entière (combinaisons linéaires, produit, dérivées et primitives successives),​ DLSE usuels à connaître : DLSE du binôme (preuve en cours). (Le DLSE en 0 de arcsin n'a pas encore été traité, celui de arctan n'est pas à connaître par coeur mais à savoir retrouver (la preuve peut être demandée, ainsi que pour ceux de ln(1+x) et -ln(1-x).)
 +   *//13 février 2019// : Retour sur la preuve du DLSE du binôme, ainsi que sur le rayon de convergence de la série entière associée. Application au DLSE de arcsin (pas à connaître par coeur mais à savoir retrouver, la preuve peut être demandée). Espaces vectoriels normés : définition d'une norme, inégalité triangulaire inversée, normes usuelles sur K^n (où K=R ou C), distance associée à une norme, distance d'un point à une partie non vide. Boules ouvertes, fermées et sphères. Exemples des boules unités fermées de R^2 pour les normes usuelles à connaître. Parties et fonctions bornées. Espaces vectoriels normés usuels : tout e.v. de dimension finie peut être normé (construction d'une norme à partir d'une base de E et d'une norme sur K^n à connaître),​ norme de la convergence uniforme sur les fonctions bornées (de X non vide dans un e.v.n E), normes usuelles sur C([a;b];R). Produits d'​espaces vectoriels normés (en particulier norme produit infinie). Équivalence de normes : définition de deux normes équivalentes,​ exemples et contre-exemples,​ toutes les normes sont équivalentes en dimension finie.
 +   *//27 février 2019// : Encadrement des boules pour deux normes équivalentes. Suites d'​éléments d'un e.v.n : suites bornées, convergentes/​divergentes,​ opérations sur les limites (combinaison linéaire, produit par une suite numérique convergente),​ effet d'un changement de norme sur la notion de limite. Convergence d'une suite en dimension finie (exemple des suites complexes) et dans un espace normé produit. Topologie des e.v.n : voisinage, ouverts (définition,​ exemples du complémentaire d'un singleton, des boules ouvertes, contre-exemple des boules fermées/​sphères). Propriétés des ouverts : union, intersection finie, produits cartésiens d'​ouverts. Fermés : définition seulement et premiers exemples.
 +   *//06 mars 2019// : Fermés : propriétés (intersection,​ union finie). Caractérisation séquentielle des fermés. Exemple : les boules fermées et les sphères sont fermées (la preuve peut être demandée en question de cours). Produits cartésien de fermés. Intérieur : définition,​ caractérisation comme le plus grand ouvert inclus dans l'​ensemble. Adhérence : définition,​ caractérisation comme le plus petit fermé contenant l'​ensemble,​ caractérisation séquentielle,​ exemple de l'​adhérence d'une boule ouverte. Frontière, densité d'une partie. Exemple : densité des matrices inversibles dans l'​ensemble des matrices carrées (non terminé).
 +   *// 13 mars 2019// : Fin de la topologie : suites extraites (définition,​ propriétés),​ compacts (définition),​ un compact est fermé borné, caractérisation en dimension finie des compacts, généralisation du théorème de Bolzano-Weierstrass dans un e.v.n. Fonctions vectorielles : limites, opérations sur les limites. Continuité d'une fonction vectorielle : définition,​ caractérisation séquentielle,​ lien entre la continuité d'une fonction et d'une de ses restrictions,​ fonctions lipschitziennes (la preuve de lipschitzienne implique continue peut être demandée en question de cours). Opérations sur les fonctions vectorielles continues (combinaisons linéaires, produit et composée si cela a un sens), caractérisation de la continuité à l'aide des fonctions coordonnées dans une base si l'​espace d'​arrivée est de dimension finie, ou à l'aide des fonctions composantes si l'​espace d'​arrivée est un espace produit.
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 +== Fiches de cours ==
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 +Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.
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 +  * {{ :​pmi:​chap.1_-_series_de_fonctions_resume_18-19.pdf |Séries de fonctions}}
 +  * {{ :​pmi:​chap.2_-_series_entieres_resume_18-19.pdf |Séries entières}}
 +  * {{ :​pmi:​beamer_-_chap._3_-_espaces_vectoriels_normes_18-19.pdf |Espaces vectoriels normés}}
 +  * {{ :​pmi:​beamer_-_chap.4_-_topologie_des_evn.pdf |Topologie des e.v.n.}}
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 +Les TD d'​analyse sont assurés par:    ​
 +   * [[dejou@math.univ-lyon1.fr|Gaelle Dejou]] (groupes P5 (CCP) et P8),  ​
 +   * [[badr@math.univ-lyon1.fr|Nadine Badr]] (groupes P6 et P7).
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 +== Fiches de TD ==
 +  * {{ :​pmi:​td1_-_revisions_series_numeriques_suites_de_fonctions_18-19.pdf |TD1 - Révisions (séries numériques,​ suites de fonctions)}}
 +  * {{ :​pmi:​td2_-_series_de_fonctions18-19.pdf |TD2 - Séries de fonctions}}
 +  * {{ :​pmi:​td3-se_riesentie_res.pdf |TD3 - Séries entières}}
 +  * {{ :​pmi:​td2-evn.pdf |TD4 - Espaces vectoriels normés}}
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 +== Avancement ==
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 +Groupe P5 [au 15/03, après 9 TD sur 15] :
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 +  * Fiche 1 : Exercices 1 à 5, 7, 9 et 10 (exercice 8 très rapidement expliqué à l'​oral).
 +  * Fiche 2 : Exercices 1 à 9 sauf le 8 (corrigés du 8 et 11 distribués).
 +  * Fiche 3 : Exercices 1 à 6, 13, 7 à 9, 11, 14 et 15 (questions 1 et 2 expliquées rapidement, à faire à la maison, question 3 rédigée) (le corrigé du 10 a été distribué).
 +  * Fiche 4 : Exercices 1, 2, 4, 6 à 8, 10.
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 +Groupe P6 [au 15/03, après 9 TD sur 15] :
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 +  * Fiche 1 : Exercices 1 à 5, 7 (à part la c., correction distribuée),​ 9 et 10 (exercice 8 correction distribuée).
 +  * Fiche 2 : Exercices 1 à 9 sauf le 8.
 +  * Fiche 3:  Exercices 1 à 8, ex 10, 13, ex 11 (1 à 6 et 10), Ex 12 (1 à 3), ex 14 et correction de l'​exercice 15 distribuée.
 +  * Fiche 4:  Exercices 1, 2, 4 à 7.
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 +Groupe P7 [au 15/03, après 9 TD sur 15] :
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 +  * Fiche 1 : Exercices 1 à 5, 7 (à part la c., correction distribuée),​ 9 et 10 (exercice 8 correction distribuée).
 +  * Fiche 2 : Exercices 1 à 9 sauf le 8.
 +  * Fiche 3:  Exercices 1 à 8, ex 10, 13, ex 11 (1 à 6 et 10), Ex 12 (1 à 3), ex 14 et correction de l'​exercice 15 distribuée.
 +  * Fiche 4: Exercices 1, 2, 4 à 7.
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 +Groupe P8 [au 15/03, après 9 TD sur 15] :
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 +  * Fiche 1 : Exercices 1 à 5, 7, 9 et 10.
 +  * Fiche 2 : Exercices 1 à 9 sauf le 8 (corrigés du 8 et 11 donnés)
 +  * Fiche 3 : Exercices 1 à 6, 13, 7 à 9, 11 , 14, 15 (question 3 rédigée en admettant les 2 premières) (le corrigé de l'​exercice 10 a été distribué)
 +  * Fiche 4 : Exercices 1, 2, 4, 6 à 8, 10, question 1 de l'​exercice 11.
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 +===== Algèbre =====
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 +Les cours d'​algèbre sont assurés par [[carrizisa@math.univ-lyon1.fr|Maria Carrizosa]].
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 +   * //17 décembre 2018// **Chapitre 1. Produit scalaire**. Définition,​ exemples. Inégalité de Cauchy-Schwarz,​ norme associée à un produit scalaire, identité du parallélogramme,​ formules de polarisation. Cas complexe : produit hermitien, espace hermitien, exemples, parallèlle entre cas réel et complexe pour les différentes propriétés.  ​
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 +   * //20 décembre 2018// **Chapitre 2. Orthogonalité**. Vecteurs et espaces orthogonaux,​ bases orthogonales,​ orthonormées,​ propriétés. Théorème de Pythagore, formules pour la norme et le produit scalaire dans une base orthonormée. Procédé d'​orthonormalisation de Gram-Schmidt.
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 +   * //16 janvier 2019// Projection orthogonale : rappels sur projecteurs,​ si E=F⊕G sur la projection sur F parallèlement à G. Définition d'un projecteur orthogonal. En dimension finie, formule pour la projection orthogonale sur un sous-espace. Lien avec Gram-Schmidt. ​
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 +   * //23 janvier 2019// Pas de cours.
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 +   * //30 janvier 2019// Distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel, en dimension finie formule avec la projection orthogonale. Exemples : moindres carrés. Matrice associée à un produit scalaire (et plus généralement à une forme bilinéaire) dans une base donnée. Lien entre les matrices associées dans deux bases différentes. La matrice de passage P entre deux bases orthonormées a la propriété ^tPP=I, on dit que c'est une matrice orthogonale. ​  ​**Chapitre 3. Endomorphismes des espaces euclidiens** Notion d'​espace dual d'un espace vectoriel E, si E de dimension finie n, son dual est de dimension n. Theorème de representation de Riesz. Définition de l'​adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien.
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 +   * //6 février 2019// Preuve de l'​existence et l'​unicité de l'​adjoint. Dans une base orthonormée,​ la matrice de l'​adjoint de u est la transposée de la matrice de u. Exemple du calcul de l'​adjoint d'un endomorphisme donné. Premières propriétés des adjoints : pour f,g ∈ End(E), k∈ R, (f*)*=f, (f+g)*=f*+g*,​ (kf*)=k(f)*,​ (fg)*=g*f*, si f inversible, (f^{-1})*=(f*)^{-1}. Définition des endomorphismes symétriques,​ orthogonaux et normaux. Différentes caractérisations des endomorphismes orthogonaux (conservent la norme, conservent le produit scalaire). Propriétés des matrices associées aux endomorphismes symétriques et orthogonaux. Retour sur la projection orthogonale : elle est symétrique (pas orthogonal) et la symétrie orthogonale (symétrique et orthogonale). Noyau et image de l'​adjoint : Ker(u*) est l'​orthogonal de Im(u), Im(u*) est l'​orthogonal de Ker(u). Adjoint et sous-espaces stables : si F est un sous-espace stable par u alors l'​orthogonal de F est stable par u* et son corollaire : si F stable par u et u est symétrique ou orthogonal alors l'​orthogonal de F est stable par u.   
 +   ​Classification complète
 +   *//13 février 2019// Les valeurs propres d'un endomorphisme symétrique sont toutes réelles. Théorème spectral : si u est un endomorphisme symétrique de E, il existe une base orthonormée de vecteurs propres. Version matricielle du theorème. Corollaire : les espaces propres de u (symetrique) sont orthogonaux 2 à 2. Exemples. Endomorphismes positifs et définis positifs : déf, equivalence avec la positivité de ses valeurs propres. Étude de l'​endomorphisme u*u : sym. positif, déf positif ssi u inversible, Ker(u*u)=Ker(u),​ Im(u*u)=Im(u*). Racine carrée d'un endomorphisme sym. positif (existence, unicité). Décomposition polaire (existence, unicité). ​
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 +   *//27 février 2019// **Chapitre 4. Groupe Orthogonal** L'​ensemble des endomorphismes orthogonaux forment un groupe pour la composition. Le determinant d'une matrice orthogonale est +-1, les valeurs propres réelles sont +-1. Sous-groupe special orthogonal (ou des endomorphismes directs) notation SO(E) ou O^+(E), def des réflexions. Theo : tout endomorphisme orthogonal s'​ecrit comme produit d'au plus n (=dim E) réflexions. Définition de l'​orientation d'un espace euclidien. Groupe orthogonal en dimension 2 : description des matrices de SO_n(R) et O^-(R).  ​
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 +   *// 6 mars 2019// unicité de la matrice d'un élément u de SO(E) dans toute base orthonormée directe, les éléments de O(E)\SO(E) sont les réflexions. Définition de l'​angle orienté entre deux vecteurs du plan euclidien. Propriétés des angles orientés du plan euclidien, lien avec produit scalaire et le déterminant. Groupe orthogonal en dimension 3 : produit mixte et produit vectoriel, propriétés,​ formule pour le produit vectoriel en fonction des coordonnées des vecteurs dans une bond.
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 +   *//13 mars 2019// Groupe orthogonal en dimension 3 : étude des rotations.
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 +   *//17 mars 2019// Étude des endomorphismes orthogonaux en dimension 3 de determinant -1. En dimension n quelconque, tout endomorphisme orthogonal a pour matrice dans une base orthonormee adaptée, une matrice diagonale par blocs avec un bloc I_p (matrice identité de taille p), un bloc -I_q, et des blocs de matrices R_{θ_1},​...,​R_{θ_r} ou les R_{θ_i} sont des matrice de rotation sur des espaces de dimension 2 d'​angle θ_i  (avec p+q+2r=n).
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 +Les TD d'​algèbre sont assurés par
 +   * [[dejou@math.univ-lyon1.fr|Gaelle Dejou]] (groupe P5), 
 +   * [[delaygue@math.univ-lyon1.fr|Eric Delaygue]] (groupe P6),
 +   * [[lourdeaux@math.univ-lyon1.fr|Alexandre Lourdeaux]] (groupe P7),
 +   * [[bahloul@math.univ-lyon1.fr|Rouchdi Bahloul]] (groupe P8).
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 +== Fiches de TD ==
 +  * {{ :​pmi:​td1_-_produits_scalaires_et_cauchy-schwarz18-19.pdf |TD1 - Produits scalaires et Cauchy-Schwarz}}
 +  * {{ :​pmi:​td2_-_sous-espaces_orthogonaux_et_projecteurs18-19.pdf |TD2 - Sous-espaces orthogonaux et projecteurs}}
 +  * {{ :​pmi:​td3_-_endomorphismes_remarquables_d_un_ev_euclidien_18-19.pdf |TD3 - Endomorphismes d'un espace euclidien}}
 +  * {{ :​pmi:​2019_td4_-_adjoints_et_thm_spectral.pdf | TD4 - Adjoint et Théorème spectral}}
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 +**Avancement :**
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 +>Groupe P5 (au 15/03 après 9 TD sur 15):
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 +  * Fiche 1 : tous les exercices sauf le 6 et 12.
 +  * Fiche 2 : tous les exercices sauf le 10 et 15.
 +  * Fiche 3 : exercices 1, 7 à 12 + exercice : une matrice est orthogonale ssi ses colonnes forment une base orthonormée. Exercices 2, 3 (plus 3bis pour les endomorphismes orthogonaux de déterminant -1), 4 , 5 (aucune notion d'​orientation n'a été vue pour l'​instant en TD, les angles sont déterminés au signe près avant d'y revenir lors des ev orientés) et 6.
 +  * Fiche 4 : exercices 1 à 3 (4 très rapidement).
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 +>Groupe P7 (au 22/03 après 10 TD sur 15):
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 +  * Fiche 1 : tous les exercices sauf le 12.
 +  * Fiche 2 : tous les exercices sauf le 8.
 +  * Fiche 3 : tous les exercices sauf le 4.
 +  * Fiche 4 : tous les exercices sauf le 5 (1 donné en DM).
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 +>Groupe P6 (au 21/03 après 10 TD sur 15) :
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 +  * Fiche 1 : exercices 1 à 3, 5, 8, 9, 12 et 13.
 +  * Fiche 2 : exercices 1, 3 à 6, 9, 12, 13 et 16.
 +  * Fiche 3 : exercices 1 à 5, 7 à 9 et 12.
 +  * Fiche 4 : exercices 1, 2, 4, 7 et début du 9.
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 +>Groupe P8 (au 15/03 après 9 TD sur 15)
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 +  * Fiche 1 : tout sauf l'ex. 6.
 +  * Fiche 2 : Tout sauf 8 et 11.
 +  * Fiche 3 : moitié du 1 + tout le reste.
 +  * Fiche 4 : ex. 1 et 2.
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 +==== Devoirs ====
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 +//Dates prévisionnelles//  ​
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 +  * mardi 5 février
 +  * mardi 5 mars : {{ :​pmi:​2019_prepa2_ds2_commun.pdf | Le sujet du DS2 commun}}; {{ :​pmi:​2019_prepa2_ds2_correct_alg.pdf | Correction de la partie Algèbre}}; {{ correction-ds2-Analyse-v2-2019.pdf| Correction de la partie Analyse}}.
 +  * mardi 26 mars
 +  * mardi 23 avril
 
 
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