Mathématiques en cursus préparatoires deuxième année - 2016-2017

Semestre d'automne

Analyse

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

  • 06 septembre 2016: Intégrales généralisées pour les fonctions positives. Comparaisons de fonctions intégrables (ou non intégrables) positives. Intégrales de Riemann. Fonctions absolument intégrables (définition).
  • 07 septembre 2016: Fonctions absolument intégrables : premiers exemples et propriétés. Intégrales impropres convergentes, semi-convergentes. Intégrales de Bertrand.
  • 14 septembre 2016: Séries numériques: vocabulaire de base et premiers exemples. Divergence grossière. Somme de séries numériques. Séries à termes positifs : comparaison de séries à termes positifs (<, o, O, ~).
  • 21 septembre 2016 : séries numériques : règle de D'Alembert, comparaison série-intégrale, séries de référence (séries géométriques, séries de Riemann, série définissant l'exponentielle). Convergence absolue, semi-convergence, énoncé du critère des séries alternées.
  • 28 septembre 2016 : Séries numériques : critère des séries alternées. Transformation d'Abel et règle d'Abel (exemples). Études asymptotiques. Produit de Cauchy (définition, le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes est absolument convergent).
  • 5 octobre 2016 : Topologie de R^n : définition d'une norme, norme euclidienne (seule norme considérée pour la suite), boules ouvertes, fermées et sphères, parties bornées. Ouverts de R^n : définition, réunion, intersection et produit cartésien. Limites : définition de la convergence d'une suite d'éléments de R^n, opérations sur les limites, caractérisation avec les suites coordonnées.
  • 12 octobre 2016 : Limites de fonctions de plusieurs variables : point adhérent, définition de la convergence, caractérisation séquentielle, lien avec les limites des fonctions coordonnées, opérations sur les limites, extensions “à l'infini”. Continuité : définition, caractérisation séquentielle, fonctions lipschitziennes.
  • 19 octobre : cours annulé, rattrapé le 26 octobre.
  • 26 octobre : Opérations sur les fonctions continues (lien avec les fonctions coordonnées, somme, produit, composée, continuité d'une restriction), lien avec la continuité des applications partielles. Dérivées partielles (définition, lien avec les fonctions coordonnées), matrice Jacobienne (définitions du gradient, de la divergence et du rotationnel). Dérivées directionnelles, lien avec les dérivées partielles. Exemples.
  • 02 novembre : Fonctions de classe C¹: f de classe C¹ ssi ses dérivées partielles existent et sont continues, lien avec les fonctions coordonnées. Existence d'un développement limité à l'ordre 1,une fonction C¹ est continue. Existence et calcul des dérivées directionnelles dans le cas d'une fonction C¹. Opérations (combinaison linéaire, produit, composition), formule de dérivation en chaîne ainsi que sa version matricielle, exemples. C¹-difféomorphismes : définition, exemples, inversibilité de la Jacobienne en tout point pour un C¹-difféomorphisme.
  • 9 novembre : C^1-difféomorphismes : définition du Jacobien, théorème d'inversion globale. Fonctions de classe C^k : dérivées partielles d'ordre supérieur, classe C^k, opérations sur les fonctions de classe C^k, théorème de Schwarz, exemples. Suites de fonctions : convergence simple, exemples, propriétés préservées par passage à la limite simple (signe, monotonie, convexité).
  • 16 novembre : Convergence uniforme d'une suite de fonctions : définition, caractérisation équivalente. Convergence uniforme implique convergence simple. Méthodes d'étude de la convergence uniforme, exemples. Critère de Cauchy uniforme. Propriétés préservées par passage à la limite uniforme (caractère borné, continuité). Théorème de la double limite. Échange limite et intégrale sur un segment.
  • 23 novembre : Suite de fonctions : théorème de convergence dominée, exemples. Théorème de dérivation (pour des fonctions de classe C^1 avec convergence uniforme de la suite des dérivées sur tout segment de l'intervalle considéré), extension aux fonctions de classe C^p. Intégrales à paramètres : théorème de continuité et de dérivabilité dans le cas où le domaine d'intégration est un segment.
  • 30 novembre : Intégrales à paramètres : cas des bornes variables (continuité et dérivabilité lorsque les bornes d'intégration sont des fonctions continues (resp. C^1)). Intégrales à paramètres généralisées : théorèmes de continuité et de dérivabilité par domination par une fonction positive continue par morceaux et intégrable. Exemples.


Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi matin et sont assurés par:


Fiches de cours

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

Fiches de TD


Avancement :

Groupe P5 (au 09/12/16 après 14 TD sur 15):
  • Fiche 1 : tous les exercices.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 7 (exo 3 fait en CM), 8, 9, 11 et 13.
  • Fiche 3 : tous les exercices sauf la question 1 du 15 et les questions 2.(d) et (e) du 18.
  • Fiche 4 : tous les exercices sauf les questions 3 et 4 de l'exercice 18.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 6, 9 à 16 (17 extrêmement rapidement, seulement les explications sur les points pouvant poser problème).
  • Fiche 6 : exercices 1 à 4, 6, 7, 8, 10, 13, Question 1 du 14 et 15.
  • Fiche 7 : exercices 1, 2, 5, 6 et 8.
Groupe P6 (au 15/12/16 après 15,5 TDs sur 15):
  • Fiche 1 : tout.
  • Fiche 2 : exercices 1 et 2, 4 et 5, 6 (question 1), 7 à 9 et 11 (question 1).
  • Fiche 3 : exercices 1 à 10 (moins quelques questions de ci de là), 12 et 13, 16 et 17.
  • Fiche 4 : tous les exercices, sauf le 6.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 6 et 8 à 16.
  • Fiche 6 : exercices 1 et 2, 4 à 6, 8 et 9, 12, 13, 14 1), 16 et 17.
  • Fiche 7 : exercices 1 (sans la question 4), 2, 3 (pas tout à la question 3), 6, 7, 10 et 11.
  • Fiche 8 : exercices 1, 2, 5, 7 (questions 1 et 2).
Groupe P7 (au 16/12/16 après 15TDs sur 15):
  • Fiche 1 : tout (partiellement fait à la maison).
  • Fiche 2 : exercices 1 et 2, 5, 6 (question 1 et 2), 9, 11 (question 1).
  • Fiche 3 : fiche fini (fait tout sauf 8, 11, 15, 18)
  • Fiche 4 : tous les exercices sauf 15,17,18.2 et 18.4
  • Fiche 5 : exercices 1 à 6 et 8 à 16.
  • Fiche 6 : exercices 1,2,4,5,6,8,9,12,13,14.1,16
  • Fiche 7 : exercices 1,2,5,6
  • Fiche 8 : exercices 1,2,5,7.2
Groupe P8 (au 16/12/16 après 15 TD sur 15):
  • Fiche 1 : tout sauf l'exercice 6.
  • Fiche 2 : exercices 1-5(La détermination de Gamma(n+1) dans 2.4 laissée comme exercice à la maison), 6.1, 6.2, 7.1, 9, 11, 13.
  • Fiche 3 : exercices 1-10, 12-18.
  • Fiche 4 : exercices 1-18(1,2,3).
  • Fiche 5 : exercices 1-15(7.4 et 8.4 sont laissés comme exercice).
  • Fiche 6 : tous les exercices sauf 11, 12 et 15 .
  • Fiche 7 : exercices 1 (le point 4 non abordé), 2, 3, 5 (le premier point est laissé comme exercice), 6, 7, 10.
  • Fiche 8 : tous les exercices sauf 4.


Algèbre

Les cours d'algèbre sont assurés par Stéphane Attal.

Voici l'avancement du cours : i.e. les parties qui ont été traitées en amphi.

– Chap 0 : Introduction et motivations. intro.pdf

Explication de la motivation pour diagonaliser des matrices, ou trouver des formes réduites. Un exemple fait à fond : une transformation linéaire des matrices à itérer (il faut la voir comme application linéaire sur Mn(C), calculer sa matrice, trouver une base dans laquelle elle devient la plus simple possible, calculer sa puissance n-ième dans la bonne base, retour au problème initial)

– Chap I : Rappels d'algèbre linéaire chi-rappels.pdf

Espaces vectoriels, bases, dimension. Application linéaire, matrice associée dans une base. Changement de base, matrice de passage et son inverse, formule de changement de base.

– Chap II : Le groupe des permutations grp_permut.pdf

Définition de groupe. Permutations, structure de groupe de Sn. Cycles, toute permutation est produit de cycles disjoints. Transposition, toute permutation est produit de transposition. Signature comme morphisme de G dans R^*

– Chap III : Déterminants iii_determinants.pdf

Déterminant d'une famille de vecteurs (formule avec S_n) dans une base B. Définition d'une forme n-linéaire alternée, le det_B est une forme n-linéaire alternée, “unicité” des formes n-linéaires alternées. Le det_B s'annule sur les familles liées. Formule de changement de base pour det_B. Une famille F est une base ssi det_B F différent de 0. Déterminant d'un endomorphisme. det_B u ne dépend pas du choix de la base. det(vou)=det(v) det(u), det (u^{-1})=1/det(u). Déterminant d'une matrice, lien avec déterminant d'un endomorphisme. det(A^t)=det(A). Récapitulation de toutes les opérations sur det A. Cas triangulaire. Calcul de det A par mise sous forme triangulaire. Calcul de det A par développement suivant une colonne ou une ligne. Application aux systèmes de Cramer, formule de Cramer. Comatrice et matrice inverse.

– Chap IV : Réduction géométrique

reduction_geometrique.pdf

Sous-espaces stables, endomorphisme induit, stabilité de Ker(u-a id) et de Im(u- a id), stabilité de Ker v et Im v par u qui commute à v. Propriété des endomorphismes induits, Ker u_F, Im u_F. Représentation matricielle de u quand on a un sous-espace invariant. Représentation diagonale par blocs. Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme, sous-espaces propres, spectre. Stabilité des sous-espaces propres, les sous-espaces propres sont en somme directe, liberté des vecteurs propres, nombre maximal de valeurs propres différentes. Exemples de spectres en dimension infinie. Eléments propres d'une matrice, lien avec ceux de l'endomorphisme, 2 matrices semblables ont même spectre. Polynôme caractéristique, de degré n et unitaire. Matrice compagnon. Multiplicité des valeurs propres. Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit divise celui de l'endomorphisme (au passage determinant d'une matrice triangulaire par blocs). Encadrement de la dimension des sous espaces propres par 1 et la multiplicité. Première explication de la stratégie pour diagonaliser. Changement de corps, cas des matrices réelles vues comme matrices complexes : conjugaison des valeurs propres, conjugaison des sous-espaces propres. Diagonisabilité = existence d'une base de vecteurs propres. Equivalence avec décomposition de l'espace en somme directe de sous-espaces propres. Equivalence avec somme des dimensions des sous-espaces propres= dim E. Equivalence avec polynômes caractéristique scindé et dim sous-esp propre = multiplicité. n valeurs propres distinctes ⇒ diagonalisable. Matrice diagonalisable ⇔ endomorphisme diagonalisable. Puis plein d'exemples. Trigonalisation. Endomorphisme trigonalisable, matrice trigonalisable. Caractérisation : si et seulement le polynôme caractéristique est scindé. Tout endom de C est trigonalisable. Dans ce cas la trace est la somme des v.p. avec multiplicité, le déterminant est le produit. Algorithme de trigonalisation. Exemple. Endomorphisme nilpotent.

– Chap V : Réduction algébrique

reduction_algebrique.pdf

Valeur d'un polynôme en un endomorphisme. Structure de K-algèbre (avec unité). L'application P–>P(u) est un morphisme de K-algèbre. Polynôme d'endomorphisme, algèbre K[u] (plus petite sous-algèbre contenant u). Polynôme annulateur. Structure d'e.v. et d'idéal de l'ensemble des polynômes annulateurs de u.Si P annule u alors le spectre de u est inclus dans les racines de u. Au passage, démonstration de a valeur propre de u ⇒ P(a) valeur propre de P(u).

Valeurs d'un polynôme en une matrice (carrée). Cas diagonal, cas triangulaire, cas triangulaire par blocs, polynôme de la transposée. L'application P –> P(M) est un morphisme d'algèbre. Sous-algèbre K[M]. polynôme annulateur. Remarques sur Q(P^{-1} A P)=P^{-1}Q(A)P. Si A, B sont semblables elles ont les mêmes polynômes annulateurs. L'ens des pol annul de M est un sev et un idéal. Les vp de M sont incluses dans les racines de tout pol annul de M.

Théorème de Cayley-Hamilton (avec démonstration, hors programme, par les matrices compagnons). Définition-théorème du polynôme minimal (plus petit pol unitaire annulateur de M, il divise tous les autres). 3 exemples. Les v.p. de M sont exactement les racines du pol min. Méthode de calcul de A^n par la méthode la division euclidienne de A^n par le pol min. 2 exemples en détails.

Le lemme des noyaux. Critère algébrique de diagonalisabilité (polynôme annulateur scindé à racine simple). Réduction des diagonalisables. Co-diagonalisation des endomorphismes qui commutent. Critère algébrique de trigonalisabilité (polynôme annulateur scindé). Sous-espaces caractéristiques. Toute matrice trigonalisable est la somme, par blocs, d'homothéties et de nilpotents.

Sous-espaces caractéristiques. Ker(u-l_k id)^n est stable à partir de la multiplicité de l_k dans le pol minimal. La dim de l'espace caractéristique est la multiplicité de la v.p. dans le pol caract. Projecteurs spectraux. Méthode générale de calcul des projecteurs spectraux par l'inverse du pol min. Décomposition de Dunford.


Les TD d'algèbre ont lieu en principe le mercredi matin et sont assurés par:

Fiches de TD

Avancement :

Groupe P5 (au 09/11/16 après 14 TD sur 15):
  • Fiche 1 : exercices 1 à 8, 10, 12 à 15, 18, 19, 21 et 22.
  • Fiche 2 : tous les exercices sauf le 12.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 4.
  • Fiche 4 : exercice 1 (questions 1 à 8).
  • Fiche 5 : tous les exercices.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 14, 17 et 18.
  • Fiche 6bis : tous les exercices.
Groupe P6 (au 14/12/16 après 14,5 TDs sur 15 (et on s'arrêtera là, ajoutant 0,5 TD en analyse)):
  • Fiche 1 : exercices 1 à 3, 5, 6, 8 (le début), 9, 11, 12, 14 à 23.
  • Fiche 2 : tout sauf le 13 et la fin du 16.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 5.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 7.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 3 et 5 à 10.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 5, 8, 11, 12, 16, 18 et 19.
  • Fiche 6 bis : exercices 1, 2, 4 et 5.
  • Fiche 7 : exercices 1 à 4, 7, 9 et 10.
Groupe P7 (au 14/12/16 après 15 TD sur 15):
  • Fiche 1 : exercices 1 à 6, 8, 12, 13, 14, 16, 19, 21, 22.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 15 et 17.
  • Fiche 3 : exercices 1, 2 et 4 ; le corrigé du 3.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 5 et 7.
  • Fiche 5 : tout sauf l'exercice 9.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 5, 7, 8, 11, 12, 17 et 18.
  • Fiche 6bis : exercices 1 à 4.
  • Fiche 7 : exercices 3 (les deux premières matrices), 4, 6, 9, méthode indiquée pour le 10, un exercice supplémentaire comme le 7 mais avec une matrice non diagonalisable.
Groupe P8 (au 07/11/16 après 14 TD sur 15):
  • Fiche 1 : exercices 1 à 7, 12 à 14, 17, 18 et 22.
  • Fiche 2 : exercices 1 à 17 sauf 3, 12, 16.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 5.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 8.
  • Fiche 5 : tous les exercices.
  • Fiche 6 : tous les exercices.
  • Fiche 6bis : exercices 1, 2 et 4.

Devoirs

Dates prévisionnelles

  1. lundi 26 septembre : Le sujet et le corrigé algèbre et le corrigé analyse.
  2. lundi 17 octobre :
  3. lundi 14 novembre :
  4. lundi 5 décembre
  5. lundi 14 décembre : uniquement le devoir spécifique aux CCP

Semestre de printemps

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

  • 16 janvier 2017 : Espaces vectoriels normés : norme, inégalité triangulaire inversée, normes usuelles sur K^n. Distance associée à une norme, distance d'un point à une partie non vide. Boules ouvertes, fermées et sphères. Parties et fonctions bornées. Espaces vectoriels normés usuels : tout e.v. de dimension finie peut être normé, norme de la convergence uniforme sur les fonctions bornées, normes usuelles sur C([a;b];R).
  • 18 janvier 2017 : Produits d'espaces vectoriels normés. Équivalence de normes : définition de deux normes équivalentes, exemples et contre-exemples, toutes les normes sont équivalentes en dimension finie. Encadrement des boules pour deux normes équivalentes. Suites d'éléments d'un e.v.n : suites bornées, convergentes/divergentes, opérations sur les limites (combinaison linéaire, produit par une suite numérique convergente), effet d'un changement de norme sur la notion de limite. Convergence d'une suite en dimension finie et dans un espace normé produit. Topologie des e.v.n : voisinage, ouverts (définition, exemples du complémentaire d'un singleton, des boules ouvertes, contre-exemple des boules fermées/sphères).
  • 25 janvier 2017 : pas de CM d'analyse (2 CM d'algèbre)
  • 1er février 2017 (séance 1) : Propriétés des ouverts : union, intersection finie, produits d'ouverts. Fermés : définition, propriétés (intersection, union finie). Caractérisation séquentielle des fermés. Produits de fermés. Intérieur, adhérence et densité (caractérisation séquentielle).
  • 1er février 2017 (séance 2) : Fin de la topologie : suites extraites (définition, propriétés), compacts (définition), un compact est fermé borné, caractérisation en dimension finie des compacts, généralisation du théorème de Bolzano-Weierstrass dans un e.v.n. Séries de fonctions : vocabulaire de base, convergence simple et absolue simple. Convergence uniforme.
  • 8 février 2017 (séance 1) : Caractérisation de la convergence uniforme avec la suite de fonctions des restes, exemples. Critère de Cauchy uniforme. Convergence normale, lien avec les autres modes de convergence.Méthodes pratiques d'étude de la convergence normale/uniforme. Théorème de continuité pour les séries de fonctions, théorème de la double limite (interversion lim/série).
  • 8 février 2017 (séance 2) : Interversion série/intégrale en cas d'intégration sur un segment avec convergence uniforme sur celui-ci. Exemples. Séries de fonctions et dérivation : cas des fonctions de classe C^1, extension aux fonctions de classe C^p. Séries entières : définition d'une série entière, Lemme d'Abel, deux définitions équivalentes pour le rayon de convergence R. Lien avec la convergence de la série de terme général a_n z^n pour |z| < R et > R.
  • 15 février 2017 : pas de CM d'analyse (2 CM d'algèbre).
  • 1er mars 2017 : Séries entières : disque ouvert de convergence, détermination pratique du rayon (règles de D'Alembert, de Cauchy, exemples des séries lacunaires, par comparaison). Opérations sur les séries entières : somme et produit de deux séries entières (avec minoration du rayon de convergence), série entière dérivée (même rayon de convergence).
  • 8 mars 2017 : Convergence normale d'une série entière sur tout compact inclus dans le disque ouvert de convergence, continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence. Séries entières d'une variable réelle : reformulation de la continuité de la fonction somme, intégration terme à terme sur tout segment inclus dans D(0,R), série entière primitive. La fonction somme d'une série entière est de classe infinie sur D(0,R) et dérivable terme à terme. Expression des coefficients d'une série entière à l'aide de la fonction somme, identification de deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de 0. Fonctions exponentielles, trigonométriques et trigonométriques hyperboliques complexes.
  • 15 mars 2017 : Fonctions développables en série entière : définition (en 0 et en un point quelconque, cas d'une série entière d'une variable complexe et d'une variable réelle), exemples. Fonctions d'une variable réelle : série de Taylor en un point pour une fonction de classe infinie, condition nécessaire de développement en série entière, unicité du développement. Opérations sur les fonctions développables en séries entières (combinaison linéaire, produit, dérivées successives et primitives), exemples. DLSE usuels (développement du binôme avec exemple d'application sur arcsin) avec détermination du rayon de convergence de la série entière associée.
  • 22 mars 2017 : Continuité des fonctions vectorielles : limites, opérations sur les limites. Continuité d'une fonction vectorielle : définition, caractérisation séquentielle, opérations sur les fonctions continues, caractérisation par l'image réciproque d'un ouvert/fermé, fonctions lipschitziennes. Continuité et compacité (théorème des bornes atteintes pour une fonction à valeurs réelles). Caractérisations équivalentes de la continuité pour une application linéaire.
  • 29 mars 2017 : Norme subordonnée (triple) pour une application linéaire continue. Les applications linéaires au départ d'un espace normé de dimension finie sont continues. Calcul différentiel : développement limité pour une fonction vectorielle à l'ordre 1 en un point, unicité de la partie linéaire. Définition de la différentiabilité en un point, caractérisation équivalente à l'aide d'un DL à l'ordre 1. Cas des applications constantes, linéaires et bilinéaires (preuve en TD). Lien entre dérivabilité et différentiabilité pour une fonction d'une variable réelle. Fonctions différentiables, différentiable implique continue, début des opérations sur les fonctions différentiables (combinaison linéaire, lien avec la différentiabilité des fonctions coordonnées).
  • 5 avril 2017 : Calcul différentiel : différentiation des fonctions composées, produit de deux applications différentiables (avec une fonction scalaire). Dérivées partielles : dérivées selon un vecteur, lien avec la différentiabilité en un point, définition des dérivées partielles dans une base choisie de l'espace de départ, calcul explicite des dérivées partielles d'une fonction de n variables réelles puis des dérivées partielles d'une fonction d'une variable vectorielle.
  • 12 avril 2017 : Matrice Jacobienne (en ayant fixé deux bases respectives des e.v.n de départ et d'arrivée). Dérivées partielles d'une fonction composée : version matricielle du théorème de différentiation d'une composée et formule de dérivation en chaîne. Classe d'une fonction : fonctions de classe C^1 (différentiable de différentielle continue) et équivalence avec l'existence et la continuité des dérivées partielles. Dérivées partielles successives et définition d'une fonction de classe C^k (existence et continuité des dérivées partielles d'ordre k). Théorème de Schwarz. Extrema : définitions d'un extremum local/global, points critiques, condition nécessaire d'extremum sur un ouvert avec les points critiques, exemples.
  • 26 avril 2017 : Matrice hessienne (pour une fonction de R^n dans R), formule de Taylor-Young à l'ordre 2 (écriture matricielle avec la jacobienne et la hessienne au point), condition suffisante d'extremum sur un ouvert à l'aide des valeurs propres de la hessienne en un point critique, corollaire à l'aide du déterminant et de la trace de la hessienne dans le cas d'une fonction de deux variables réelles, exemples. Plan tangent à une surface d'équation z=f(x,y) : équation du plan tangent, position d'une surface et de son plan tangent à l'aide de la hessienne au point. Recherche d'extrema sur un compact de R^n (rappel du théorème des bornes atteintes, explication rapide de la méthode d'étude, pas de cours spécifique).


Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi après-midi (sauf P8 le lundi matin) et sont assurés par:


Fiches de cours

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

Pour s'entraîner
Fiches de TD


Avancement :

Groupe P5 (au 28/04/17 après 14 TD sur 15):
  • Fiche 1 : exercices 1 à 4, 6, 7, 9, 10 et 12.
  • Fiche 2 : tous les exercices.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 12, 14, et questions 1 et 2 du 13.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 9 (10 et 11 cherchés à la maison, certains points corrigés rapidement)
  • Fiche 5 : exercices 1 à 7, 9, 11 (questions 8 et 10 expliquées, à terminer), 12 (questions 1 et 2), 13 et 14.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 4.
  • Fiche 7 : exercices 1 à 8, 10 à 13 (et rapidement, corrigé de quelques questions du 9 fait à la maison).
  • Fiche 8 : exercices 1 à 3.
Groupe P6 (au 5/05/17 après 15 TD sur 15):
  • Fiche 1 : 1(rapide d), 2, 3(indication seulement b), 4, 6, 7ab, 9, 10, 11, 12
  • Fiche 2 : 1, 2(N_1 seulement), 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11
  • Fiche 3 : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
  • Fiche 4 : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11
  • Fiche 5 : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11(1 à 8),13,14,15
  • Fiche 6 : 1,2,3,5,6
  • Fiche 7 : 1,2,3,4,6,10.1
  • Fiche 8 : 1,3,4,5,9
  • Fiche 9 : 1,2,5,6
Groupe P7 (au 05/05/17 après 15 TD sur 15):
  • Fiche 1 : exercices 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11.
  • Fiche 2 : exercices 1, 3, 4, 5, 8, 10, 11.
  • Fiche 3 : exercices 1, 2, 4, 5b, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14.
  • Fiche 4 : toute la feuille.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 6, 8, 9, 11 (1 à 4 seulement), 14.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 4.
  • Fiche 7 : exercices 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 14.
  • Fiche 8 : exercices 1, 2, 4, 6, 7, 8.
Groupe P8 (au 28/04/17 après 14 TD sur 15):
  • Fiche 1 : exercices 1 à 4, 6, 7, 9, 10 et 12.
  • Fiche 2 : tous les exercices.
  • Fiche 3 : exercices 1 à 12, 14 et première question du 13.
  • Fiche 4 : exercices 1 à 9.
  • Fiche 5 : exercices 1 à 7, 9, 11 (questions 8 et 10 expliquées, à terminer), 12 (questions 1 et 2), 13 et 14.
  • Fiche 6 : exercice 1 à 4.
  • Fiche 7 : exercices 1 à 8 et 10 à 13.
  • Fiche 8 : exercices 1 et 2, moitié de l'exercice 3.


Algèbre

Les cours d'algèbre sont assurés par Itaï Ben Yaacov.

  • 17 janvier 2017 : Produit scalaire dans un R-ev, norme associée. Cauchy-Schwarz. Polarisation. Identité du parallélogramme. Produit scalaire dans un C-ev, norme, Cauchy-Schwarz.
  • 18 janvier 2017 : Polarisation pour un produit scalaire complexe. Terminologie : espace préhilbertien, euclidien, hermitien. Vecteur orthogonaux, parties orthogonales. Le sous-espace orthogonal à un ensemble. Famille orthogonale / orthonormée. Pythagore. Coordonnées d'un vecteur dans une base orthog./on. Existence de bases orthogonale/o.n. en dimension finie : Gram-Schmidt.
  • 25 janvier 2017 [séance 1] : Généralités sur les projecteurs (=endomorphisme idempotent). Projecteur orthogonal. Existence et formule pour p_F en dimension finie. p_F + p_{F^\perp} = id . Gram-Schmidt avec projecteur orthogonaux. Distance à un sous-espace.
  • 25 janvier 2017 [séance 2] : E isomorphe à E^* en dimension finie. End(E) . L'endomorphisme adjoint: définition, existence, unicité, formule. Auto-adjoint (ou symétrique), orthogonal. Matrice orthogonale, caractérisation par colonnes / lignes = base o.n.
  • 15 février 2017 [séance 1] : Quelques rappels. Orthogonal = isométrique = respecte le produit scalaire = passage entre bases o.n. Théorème spectral (diagonalisation d'auto-adjoint / symétrique).
  • 15 février 2017 [séance 2] : Décomposition spectrale. Diagonalisation simultanée. Endomorphismes et matrices positifs. Existence et unicité de la racine carrée positive. Décomposition polaire d'une matrice inversible. Définition du groupe orthogonal.
  • 1 mars 2017 : Retour aux matrices définies positives : critère de Sylvester. Le groupe orthogonal O(E) , O(n). Le groupe orthogonal spécial SO(E), SO(n). Symétries d'un e.v., symétries orthogonales par rapport à un s.e.v., réflexion orthogonale. Décomposition en produit de réflexions orthogonales.
  • 8 mars 2017 : Classification est interprétation géométrique des matrices / endomorphismes orthogonaux en dimension 1, 2 et 3. Réduction en dimension quelconque en blocs de 1, -1 et rotations.
  • 15 mars 2017 : Une isométrie préservant zéro est une transformation linéaire orthogonale. Transformation othogonale directe et indirecte. Orientation d'un espace euclidien. En dimension 2 : aire signée d'un parallélogramme. Angle signée entre 2 vecteurs. Dim 3: Volume signée d'un parallélépipède. Produit vectoriel, produit mixte.
  • 22 mars 2017 : Espaces affines: définition d'un sous-espace affine d'un espace vectoriel. L'équation d'un hyperplan affine, exemple de droite en dim 2 et plan en dim 3. Définition générale d'un espace affine. Linéarisation via choix d'origine. Combinaisons affines, barycentre. Repère, coordonnées barycentriques et affines.
  • 29 mars 2017 : Sous espace affine d'un espace affine, diverses caractérisations. Intersections de s.e.a. S.e.a. engendré. Application affine, diverses caractérisations. Exemples: translation, constante. Exos: combinaison affine d'applications affines; structure affine sur l'espace des applications affines. Écriture en coordonnées.
  • 5 avril 2017 : Existence d'un pt fixe, classification de f affine tq L_f = c id. Isométries et similitudes. Toute isométrie est affine (exo pour similitudes). Classification des similitudes du plan complexe. Décomposition d'une isométrie en translation + isom. avec point fixe (qui commutent). Classification des isométries du plan affine (translation / rotation / réflexion-translation).
  • 12 avril 2017 : Séries de Fourier: Inégalité de Bessel et identité de Parseval (par rapport à un sous-espace vectoriel dense). Fonctions périodiques continues (à valeurs complexes) - on se fixe la période 2pi. La famille orthonormée des exponentielles. Coefficients de Fourier, série de Fourier. Énoncé du thm de Parseval pour les fonctions continues et de thm de Dirichlet. Quelques exemples. Début du produit de convolution.


Les TD d'algèbre ont lieu en principe le jeudi matin et sont assurés par:

Fiches de TD


Avancement :

Groupe P5 (au 23/04/17 après 14 TD sur 15):
  • Fiche 1 : tous les exercices.
  • Fiche 2 : tous les exercices sauf le 13.
  • Fiche 3 : tous les exercices.
  • Fiche 4 : tous les exercices.
  • Fiche 5 : tous les exercices.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 15 et 18.
Groupe P6 (au 23/03/17 après 7 TD sur 15):
  • Fiche 1 : tous les exercices.
  • Fiche 2 : tous les exercices sauf 12.
  • Fiche 3 : tous les exercices
  • Fiche 4 : tous les exercices
  • Fiche 5 : 1 et 2
Groupe P7 (au 13/04, après 13 TD sur 15)
  • Fiches 1 et 2 : finies; Fiche 3 : tout sauf ex. 6; Fiche 4 : finie; Fiche 5 : tout sauf 3.
  • Fiche 6 : ex. 1-10, 12, 14.
Groupe P8 (au 04/05/17, après 15 TD sur 15):
  • Fiches 1 à 5 : en entier.
  • Fiche 6 : exercices 1 à 5, 7, 8, 10, 14, 15, et 21.
  • Fiche 7 : exercices 1, 2, 4, 7, 10.

Devoirs

Dates prévisionnelles

  1. mardi 7 février
  2. mardi 7 mars
  3. mardi 21 mars Sujet et corrigé
  4. mardi 11 avril
  5. jeudi 27 avril : uniquement le devoir CCP
 
 
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