Mathématiques en cursus préparatoires deuxième année - automne 2012

Suggestions de livres:

  • Mathématiques L2, Cours complet avec 700 tests et exercices corrigés, Pearson education.
  • Mathématiques Tout-en-un MP - MP *, Le cours de référence, Dunod.

prepahermit.pdf

Algèbre

Cours

Alexei Reyman reyman@math.univ-lyon1.fr

  • 5 septembre (2 cours) Révision d'algèbre linéaire. Déterminants
  • 17 septembre Déterminants
  • 24 septembre La méthode du pivot
  • 1er octobre Diagonalisation
  • 3 octobre Trigonalisation. Sous-espaces stables
  • 8 octobre Rappel sur les polynômes. Polynômes annulateurs
  • 15 octobre Lemme des noyaux. Polynôme minimal. Critères de diagonalisabilité
  • 22 octobre Théorème de Cayley-Hamilton (démonstrations). Décomposition en sous-espaces caractéristiques
  • 12 novembre Décomposition de Dunford. Projecteurs spectraux
  • 26 novembre Suites récurrentes linéaires
  • 3 décembre Equations différentielles linéaires; exponentielle d'une matrice (début)
  • 10 décembre Equations différentielles: exponentielle (fin), exemples, méthode de la variation des constantes
  • 5 janvier Groupes
  • 7 janvier Groupes
  • 23 janvier Formes bilinéaires,formes quadratiques, orthogonalisation, théorème de Sylvestre
  • 6 février Formes définie positives, étude des extréma. Produit scalaire, orthogonalisation de Gram-Schmidt, projection orthogonale
  • 13 février Matrice de Gram, minimisation de la distance, meilleure approximation, égalité de Bessel-Parseval
  • 20 février Endomorphismes symétriques, diagonalisation, transformations orthogonales
  • 6 mars Réduction des endomorphismes orthogonaux,décomposition polaire, décomposition QR
  • 13 mars Formes et espaces hermitiens, endomorphismes hermitiens et unitaires

Géométrie affine (début)

  • 20 mars Géométrie affine: vectorialisation, translations, repère affine, barycentres,

coordonnées barycentriques,sous-espaces affines (sous-espace engendré, position relative) applications affines

  • 27 mars Applications affines, transformations affines, exemples
  • 04 avril Espaces affines euclidiens, isométries
  • 10 avril Produit vectoriel, droites et plans dans l'espace (fichier “Géométrie”)
  • 17 avril Intégrales doubles
  • 15 mai Courbes paramétrées: tangente, position par rapport à la tangente, longueur, asymptotes, coordonnées polaires, courbes définies par une équation

Fiches de cours: DéterminantsLa méthode du pivotRéduction 1Réduction 2Réduction 3Réduction 4Suites récurrentesEquations différentielles, exponentielleGroupesFormes quadratiques Espaces EuclidiensEndomorphismes symétriques et orthogonaux, réductionEspaces HermitiensGéométrie affine, transformations affinesEspaces affines Euclidiens, isométriesGéométrieCourbes parametréesCCF 2012

TD

Gaëlle Dejou dejou@math.univ-lyon1.fr (groupe P6=CCP2),

Saïd Jabrane jabrane@math.univ-lyon1.fr (groupe P7=PeiP Physique-Méca, vendredi automne),

Rouchdi Bahloul bahloul@math.univ-lyon1.fr (groupe P8=PeiP Info, mercredi automne), et printemps,

Pierre Lavaurs lavaurs@math.univ-lyon1.fr, printemps.

Fiches d'exercices du S3:

Avancement:

Groupe P6 (CCP) : (au 05 décembre)

Fiches 1 à 6.

Fiches d'exercices du S4:

Avancement:

Groupes P6 et P7 (CCP) : (au 18 avril)

Fiche 1.

Fiche 2 : le recto (1 à 5) et une partie du verso (6 fait en groupe P7, un peu plus en groupe P6)

Fiche 3 : exercices 1 et 4 à 7.

Fiche 4 : Tous les exercices sauf le 11.

Fiche 5.

Fiche 6 : exercices 1 à 3, et 5 à 10.

Fiche 7 : entamée, en gros jusqu'à l'exercice 5

Analyse

Cours

Sylvie Benzoni benzoni@math.univ-lyon1.fr

  • 10 septembre Intégrales généralisées
  • 12 septembre Séries numériques: notions de base; séries à termes positifs.
  • 19 septembre Séries numériques: séries absolument convergentes; séries alternées.
  • 26 septembre Espaces vectoriels normés: définitions de base et exemples
  • 10 octobre Espaces vectoriels normés: exemples en dimension infinie; normes équivalentes; espaces produit; suites et séries dans un e.v.n.
  • 17 octobre Espaces vectoriels normés: critère de Cauchy / thm de Bolzano-Weierstrass en dimension finie; notions de topologie.
  • 24 octobre Espaces vectoriels normés: notions de topologie (intérieur, adhérence); fonctions entre espaces vectoriels (limites et continuité).
  • 14 novembre Espaces vectoriels normés: applications linéaires continues; compacts; cas de la dimension finie.
  • 19 novembre Fonctions de plusieurs variables: continuité, dérivées partielles.
  • 21 novembre Fonctions de plusieurs variables: différentiabilité.
  • 28 novembre Fonctions de plusieurs variables: différentiation de fonctions composées; intégration des fonctions à valeurs vectorielles.
  • 5 décembre Fonctions de plusieurs variables: théorème des accroissements finis; fonctions de classe C1; théorème du point fixe de Picard.
  • 12 décembre Fonctions de plusieurs variables: difféomorphismes; théorème d'inversion locale (admis); théorème des fonctions implicites (admis).
  • 17 décembre Fonctions de plusieurs variables: différentielle seconde; formules de Taylor.
  • 19 décembre Fonctions de plusieurs variables: problèmes d'extremum; théorème des multiplicateurs de Lagrange.
  • 30 janvier (Deux cours) Suites de fonctions: convergence uniforme, en moyenne, en moyenne quadratique. Théorèmes de convergence sous le signe d'intégration et pour les suites de fonctions dérivées. Théorèmes d'approximation: fonctions continues par morceaux sur un segment par des fonctions en escalier; fonctions continues sur un segment par des fonctions polynomiales.
  • 6 février Séries de fonctions: convergence simple, convergence uniforme, convergence absolue uniforme, convergence normale; critère de Cauchy uniforme; théorème des séries alternées, transformation d'Abel sur un exemple.
  • 13 février Séries de fonctions: passages à la limite sous le signe ∑; interversion ∑ et ∫; dérivation sous le signe ∑. Séries entières: calculs formels; définition du rayon de convergence.
  • 20 février Séries entières: rayon de convergence de la somme et du produit de deux séries entières, rayon de convergence de la dérivée d'une série entière; règles de d'Alembert et de Cauchy; continuité de la somme d'une série entière.
  • 6 mars Séries entières: propriétés de dérivabilité et d'intégrabilité de la somme d'une série entière; exponentielle complexe.
  • 13 mars Séries entières: fonctions trigonométriques et hyperboliques; fonctions développables en série entière, exemples usuels.
  • 20 mars Séries entières: développement en série entière des fonctions arcsin, arctan, argsh, argth. Début du chapitre sur les séries de Fourier: fonctions périodiques.
  • 27 mars Séries de Fourier: séries trigonométriques, coefficients de Fourier, série de Fourier, inégalité de Bessel, lemme de Riemann-Lebesgue, théorème de Dirichlet.
  • 3 avril Séries de Fourier: démonstration du théorème de Dirichlet; théorème de convergence normale; théorème de convergence en moyenne quadratique; théorème d'approximation en moyenne quadratique, théorème de Weierstrass trigonométrique (sans démonstration). Intégrales à paramètre: exemples; théorèmes de continuité et de dérivabilité pour les intégrales «ordinaires».
  • 10 avril (matin) Intégrales à paramètre: démonstration de la dérivabilité pour les intégrales «ordinaires»; cas de bornes variables; exemples; continuité des intégrales impropres uniformément convergentes; théorème de continuité des intégrales à paramètre de fonctions absolument intégrables dominées par une fonction positive intégrable.
  • 10 avril (après-midi) Intégrales à paramètre: passages à la limite sous le signe ∫; exemples; théorème de dérivation sous le signe ∫; exemples; fonction Γ.
  • 17 avril Intégrales à paramètre: transformées de Laplace (propriétés générales, transformées classiques, application à la résolution de systèmes différentiels linéaires, produit de transformées de Laplace et produit de convolution).
  • 15 mai Équations différentielles…
  • 29 mai Foire aux questions (envoyées à l'avance).

Fiches de cours:

Sujets de contrôle final

TD

Gaëlle Dejou dejou@math.univ-lyon1.fr (groupe P6=CCP2), automne et printemps,

Serge Richard richard@math.univ-lyon1.fr (groupe P7=PeiP Physique-Mécanique, mercredi automne),

Ivan Gentil gentil@math.univ-lyon1.fr (groupe P8=PeiP Info, vendredi automne),

Sarah Delcourte delcourte@math.univ-lyon1.fr (groupe P7=PeiP Physique-Mécanique, vendredi printemps),

Damien Gayet gayet@math.univ-lyon1.fr, printemps.

Fiches d'exercices du S3:

Avancement:

Groupe P6 (CCP) :

Fiches 1 à 7.

Fiches d'exercices du S4:

Avancement:

Groupe P6 (CCP) : (au 17 avril)

Fiche 1.

Fiche 2 : exercices 1 à 10.

Fiche 3 : exercices 1 à 4 et 6.

Fiche 4 : Tous les exercices sauf le 9.

Fiche 5 : exercices 1 à 10, ainsi que 12 à 14.

Fiche 6 : Tous les exercices sauf le 10 et 12.

Groupe Polytech 1 : (au 16 avril)

Fiche 5 : exercices 1 à 8 (presque)

Groupe P7 (Polytech) : (au 6 mai)

Fiche 1 : Non faite.

Fiche 2 : Tous les exercices, sauf les 9 et 11.

Fiche 3 : Exercices 3 à 6.

Fiche 4 : Tous les exercices.

Fiche 5 : Exercices 1 à 9, ainsi que 12 et 13.

Fiche 6 : Tous les exercices, sauf les 10 et 11.

Fiche 7 : Tous les exercices, sauf les 2, 4 et 6.

Devoirs

Dates prévisionnelles

  1. lundi 1er octobre :
  2. lundi 15 octobre
  3. lundi 12 novembre
  4. lundi 26 novembre
  5. lundi 10 décembre
  6. lundi 7 janvier

Dates prévisionnelles du S4

  1. mardi 19 février :
  2. mardi 12 mars :
  3. mardi 2 avril :
  4. mardi 30 avril :
  5. mardi 28 mai :

* DS 5 partie commune - Sujet et corrigé (partie analyse) - corrigé (partie algèbre)

 
 
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