Mathématiques en cursus préparatoires deuxième année - 2011-2012

Cours du semestre d'automne
Algèbre

Cours du 7 septembre : programme de révision d'algèbre linéaire

Sous-espaces vectoriels, sous-espace engendré par une partie; somme de sous-espaces, somme directe;

Bases, système de coordonnées associé à une base, isomorphisme avec l'espace numérique;

Applications linéaires, formule du rang, inversibilité des endomorphismes;

Matrices associées aux applications linéaires, changement de base pour les endomorphismes;

Déterminant; matrice inverse.

Cours du 9 septembre :

vecteurs propres, valeurs propres, diagonalisation (endomorphismes et matrices) ;

Exemples (en particulier, équations différentielles linéaires à coefficients constants);

indépendance linéaire des vecteurs propres pour les valeurs propres 2 à 2 distinctes;

Corollaires: 1) si f admet n valeurs propres distinctes (n = dim E), f est diagonalisable;

2) f admet au plus n=dim E valeurs propres;

3) les espaces propres pour les valeurs propres 2 à 2 distinctes sont en somme directe;

4) f est diagonalisable ssi E est la somme des espaces propres.

Polynome caractéristique: définition, structure, exemple n=2; (avec les vecteurs propres pour n=2) trace(f) et det (f) comme coefficients;

Corollaire: si le polynome caractéristique admet n racines distinctes (donc scindé avec toutes les racines simples), f est diagonalisable.

Petite discussion concernant les racines;

sous-espaces invariants, matrice en blocs, factorisation du polynome caractéristique.

Cours du 14 septembre :

Rappels sur le polynôme caractéristique, invariance par similitudes, structure des coefficients, les coefficients comme polynômes symétriques des valeurs propres (cas scindé).

Exemple: polynôme caractéristique d'une matrice compagnon.

Réduction en dimension 2 sur les réels: discussion de tous les cas.

Sous-espaces stables (invariants), décomposition d'une matrice en blocs, déterminant par blocs. Corollaires:

1) le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par f dans un sous-espace invariant divise le polynôme caractéristique de f.

2) la dimension d'un espace propre ne dépasse pas la multiplicité de la valeur propre associée (avec un rappel sur la multiplicité des racines d'un polynôme).

3) un endomorphisme est diagonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé et la dimension de chaque espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre associée.

Endomorphismes nilpotents: Proposition: un endomorphisme est nilpotent ssi il a le même polynôme caractéristique que l'endomorphisme nul.

Cours du 16 septembre

Comment savoir si un endomorphisme est diagonalisable (sur C ou R) sans calculer ses valeurs propres?

- Lemme des noyaux.

- Proposition: un endomorphisme est diagonalisable ssi il est annulé par un polynôme scindé à racines simples, ou, de manière équivalente, ssi il est annulé par le polynôme q = p /pgcd(p,p') et q est scindé (ici p est le polynôme caractéristique de l'endomorphisme).

Projecteurs sur les espaces propres de f exprimés comme des polynômes de f.

Polynômes annulateurs, polynôme minimal. Méthode pour calculer le polynôme minimal.

Valeurs propres comme les racines du polynôme minimal.

- Corollaire: f est diagonalisable ssi son polynôme minimal est scindé à racines simples.

- Théorème de Cayley - Hamilton.

Cours du 21 septembre

Démonstration du théorème de Cayley -Hamilton.

Remarques:

a) le polynôme minimal a les mêmes racines que le polynôme caractéristique (avec les multiplicités inférieures ou égales),

b) le polynôme minimal est scindé si et seulement si le polynôme caractéristique est scindé.

Relation entre le polynôme caractéristique (ou le polynôme minimal) de f et f + c I.

Décomposition en blocs, sous-espaces caractéristiques, trigonalisation, forme de Jordan:

Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique d'une somme directe des endomorphismes.

Lemme des noyaux: si pour le polynôme caractéristique p(x) on a p(x) = r(x) s(x) avec r et s premiers entre eux, alors E = ker(r(f)) + ker (s(f)) (somme directe des sous-espaces stables et le polynôme caractéristique de f dans ker (r(f)) (resp. dans ker(s(f)) est r(x) (resp., s(x)). Même chose pour le polynôme minimal.

Sous-espace caractéristique C(mu) associe à une valeur propre mu. Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de f dans C(mu). La dimension de C(mu) est égale à la multiplicité de mu dans le polynôme caractéristique.

Etude de f dans C(mu): f = mu I + g, avec g nilpotent (g = f- mu I). L'indice de nilpotence de g est égal à la multiplicité de mu dans le polynôme minimal.

Lemme: un endomorphisme nilpotent est trigonalisable.

Cas d'un le polynôme minimal (ou caractéristique) scindé: décomposition en somme directe des sous-espaces caractéristiques.

Corollaire: un endomorphisme est trigonalisable ssi son polynôme minimal (ou caractéristique) est scindé.

Remarque: dans ce cas on peut écrire f = d+g, où d est diagonalisable, g est nilpotent est d commute avec g.

Cours de 28 septembre :

Blocs de Jordan, forme normale de Jordan (sans démonstration).

Taille du bloc de Jordan = indice de nilpotence; taille maximale et la multiplicité dans le polynôme minimal.

Remarque: C(mu) contient un seul bloc de Jordan ssi la multiplicité de mu dans le polynôme minimal est la même que sa multiplicité dans le polynôme caractéristique.

EDO linéaires à coefficients constants:

systèmes d'ordre 1, écriture matricielle; “principe de superposition”: l'ensemble des solutions - espace vectoriel; vecteurs propres et solutions “exponentielles”; transformation du système par un changement linéaire des variables; décomposition en blocs; diagonalisation et séparation des variables; réduction à la forme de Jordan et solution complète (sur C); Corollaire: existence et unicité (sur C).

Structure des solutions.

Passage des solution complexes aux solutions réelles; Corollaire: existence et unicité sur R;

Exemples en dimension 2;

Equations scalaires d'ordre n: réécriture comme un système d'ordre 1; matrice compagnon à nouveau; structure des solutions.

Analyse

Cours du 30 septembre

Chapitre I: Séries numériques

1) Notions de base

Isomorphisme entre l'espace des séries numériques et l'espace des suites numériques.

Définitions et notations: terme général, sommes partielles, convergence, somme, nature d'une série. Reste d'ordre n d'une série convergente.

Condition nécessaire, mais non suffisante, de convergence: le terme général tend vers zéro.

Séries de référence: série de Taylor de l'exponentielle (convergente grâce à la règle de d'Alembert ci-après), série géométrique (convergente ssi la raison est de module strictement inférieur à 1), série harmonique (divergente), séries de Riemann, et plus généralement séries de Bertrand (dont la nature sera étudiée plus loin). Séries “télescopiques”.

Espace vectoriel des séries convergentes. Somme de séries de nature différente.

2) Étude des séries à termes réels positifs

Une série à termes réels positifs converge ssi la suite de ses sommes partielles est bornée.

Théorèmes de comparaison: - comparaison directe (≤, O, o, ~) et règle de Cauchy (à retenir pour l'étude des séries entières au prochain semestre), - comparaison logarithmique et règle de d'Alembert, - comparaison avec une intégrale.

Cours du 5 octobre

Exemples d'application.

3) Séries réelles ou complexes

Séries absolument convergentes.

Une série absolument convergente est convergente. Réciproque fausse. (Séries semi-convergentes.)

Séries alternées. Théorème de convergence comme conséquence du théorème des suites adjacentes.

Cours du 7 octobre

Transformation d'Abel (analogue à l'intégration par parties).

Théorèmes de comparaison. Comparaison des sommes partielles de séries convergentes, ou des restes de séries divergentes.

Chapitre II: Espaces vectoriels normés

1) Introduction

Norme sur un espace vectoriel réel ou complexe. Exemple: valeur absolue sur R; module sur C.

Parties bornées. Distance associée à une norme. Boules.

2) Exemples d'espaces vectoriels normés.

Dans Rn: - norme euclidienne ou “norme 2”: inégalité de Cauchy-Schwarz; - “norme 1”; - “norme ∞”.

Cours du 12 octobre

Espace des fonctions continues de [a,b] dans R (ou plus généralement Rn).

3) Normes équivalentes

Exemples (normes 1, 2 et ∞ dans Rn). Contre-exemple dans C([a,b]; R).

Théorème (admis pour l'instant): En dimension finie toutes les normes sont équivalentes.

4) Espaces produits

5) Suites dans un espace vectoriel normé

Suites bornées.

Définition et unicité de la limite d'une suite. Unicité de la limite pour des normes équivalentes. Une suite convergente est bornée et la suite des normes converge vers la norme de la limite.

Espace vectoriel des suites convergentes. Opérations algébriques sur les limites. Séries convergentes.

Valeurs d'adhérence. Théorème de Bolzano–Weierstrass dans Rd.

Cours du 14 octobre

6) Notions de topologie

Voisinages, ouverts, fermés. Exemples: boules ouvertes, boules fermées. Caractérisation séquentielle des fermés.

Intérieur, adhérence. Exemples (intervalles de R).

7) Fonctions d'un espace vectoriel normé E dans un espace vectoriel normé F

Limite d'une fonction f: A ⊂ E → F en un point adhérent à A.

Cours du 19 octobre

Continuité des fonctions sur une partie d'espace vectoriel normé E à valeurs dans un espace vectoriel normé F. Une fonction f est continue en a si elle a pour limite f(a) au point a. La caractérisation de la continuité par les images réciproques de fermés/ouverts est admise.

Continuité des applications linéaires. Cas des formes linéaires.

Théorème: en dimension finie, toutes les applications linéaires sont continues.

8) Compacts de Rd

Une partie A d'un espace vectoriel normé est compacte si toute suite d'éléments de A admet une sous-suite convergeant vers un élément de A.

Théorème: les compacts de Rd sont les fermés bornés.

Cours du 21 octobre

Tout compact de R admet un plus petit élément et un plus grand élément.

Théorème: L'image d'un compact par une application continue est un compact.

Corollaire: toute fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.

Chapitre: Fonctions vectorielles de plusieurs variables

1) Continuité

Rappel de la définition. La continuité d'une fonction de Rd dans Rp équivaut à la continuité de ses composantes. Attention, la continuité des applications partielles ne suffit pas.

2) Différentiabilité

a) Dérivée suivant un vecteur: si elle existe, la dérivée d'une fonction f suivant le vecteur h au point a est notée Dhf(a).

b) Dérivées partielles. Matrice jacobienne. Gradient, rotationnel, divergence.

c) Différentiabilité: si elle existe, la différentielle d'une fonction f au point a est notée df(a); sa valeur en h est notée df(a)(h) et on a la relation df(a)(h)=Dhf(a). Attention, l'existence de dérivées partielles, ou même de dérivées suivant toute direction, ne suffit pas pour qu'une fonction soit différentiable.

Algèbre

Voici le contenu des cours du novembre:

Exponentielle matricielle:

1. Rappels sur les EDO linéaires (cours de 28 septembre).

2. “Résolvante” et ses propriétés.

3. Convergence de la série pour exp(A). Calcul de la dérivé de exp(tA).

4. Si AB=BA, vérification de exp(A+B) = exp(A)exp(B).

5. Exp(N) pour N nilpotente; (exercice: log(1+N) pour N nilpotente.)

Calcul explicite de exp (tA) dans la décomposition de Dunford (ou Jordan).

6. Dimension 2: calcul de exp (A) pour les 3 classes.

7. Valeurs propres de exp(A), dét(exp(A))= exp(tr(A)).

8. Équations non-homogènes et la méthode de la variation de la constante (formule de Duhamel).

- Equa diff linéaire scalaire d'ordre n: méthode directe. Structure des solution dans le cas homogène. Solution “itérative” explicite de l'équation non-homogène. Exemple d'ordre 2 - Système linéaire défini par une récurrence, calcul des puissances, structure et comportement asymptotique des solutions. Exemple.

- Suite définie par une récurrence linéaire d'ordre n: méthode directe, structure des solutions, exemple.

Rappels et compléments sur la réduction.

1. R versus C: a) Si les vecteurs réels sont lin. indépendants sur R, il le sont aussi sur C. b) Corollaire: pour une matrice réelle, le polynôme minimal sur C est le même que sur R.

c) Théorème: si deux matrices réelles sont semblables sur C, elles sont aussi semblable sur R.

d) Corollaire: deux matrices réelles sont semblables ssi elles ont la même forme normale de Jordan (sur C).

e) Corollaire: A et la transposée de A sont semblables.

2. Valeurs propres d'un polynôme p( A ) sont p(val.pr. de A). Tr(A puissance n) ; évocation des formules de Newton.

3. Sous-espaces invariants: a) rappel: si fg=gf, alors ker(g) et Im (g) sont stables par f; b) si f est diagonalisable et F s e stable par f, alors l'endo induit dans F est diagonalisable;

c) application: diagonalisation simultanée.

4. lim (1+A/n) puissance n, exp (A) et la méthode d'Euler pour le système x'=Ax.

5. Projecteurs spectraux: utilité, méthode de calcul (en principe).

(J'ai pas eu le temps pour démontrer l'unicité de la décomposition de Dunford; en Td on peut la calculer en (très) petite dimension et là on n'est pas obligé d'utiliser les projecteurs (si on détermine les sous-espaces caractéristiques autrement). Attention: une grande partie de ce qu'on a fait en réduction est en dehors du programme du concours CCP!)

Groupes:

1. Définitions: groupe, sous-groupe, sous-groupe engendré par une partie…

Lemme: L'ensemble des éléments inversible d'un monoïde est un groupe.

2. Exemples: le monoïde des application de X dans X et le groupe S(X) des permutation de X. Groupe symétrique. Le monoïde des endomorphismes d'un ev V et le groupe linéaire GL(V).

Sous-groupes de Z.

3. Morphismes: propriétés, isomorphisme, Ker et injectivité; formule de l“ordre”: ord G = |Ker f| / |Im f|.

4. Groupe cyclique. Ordre d'un élément. Différentes propriétés de l'ordre (par ex. si a et b sont d'ordre fini et ab=ba, alors ord (ab) ord(a)ord(b) ssi ord(a) est premier avec ord (b))

5. Structure des groupes cycliques (sous-groupes, etc.) Générateurs et l'indicatrice d'Euler.

6. Théorème de Lagrange (avec démonstration). Corollaires: 1) Tout groupe d'ordre premier est cyclique; 2) Théorème d'Euler (et petit th de Fermat)

7. Produit direct des groupes. Théorème chinois. Multiplicativité de l'indicatrice d'Euler.

8. Th. de Cauchy: pour tout diviseur premier p de l'ordre du groupe il existe un élément d'ordre p. (Démo dans le cas commutatif.)

Corollaire:Un groupe fini commutatif dont l'ordre n'est pas divisible par un carré est cyclique.

9. Structure des groupes abéliens à engendrement fini.

10. Groupes des transformations: Action d'un groupe sur un ensemble.

Th. (Cayley): Tout groupe d'ordre n est isomorphe à un sous-groupe de Sn. (En général: G est isomorphe à un sous-groupe de S(G).)

Orbites de G, décomposition en réunion des orbites disjointes.

11. Groupe des permutations. Permutations conjuguées. Cycles. Orbites et décomposition d'une permutation en produit des cycles à supports disjoints. Longueurs des cycles - invariants de conjugaison. l'ordre de la permutation.

12. Décomposition en produit des transpositions. Signature. Inversions. Démonstration avec les diagrammes.

13. Groupes de petit ordre.

14. Déterminant comme une forme n-linéaire alternée normalisée- révision. Formule somme sur les permutations. Cofacteurs,..

15. Dérivation du déterminant par rapport aux éléments matriciels et par rapport au paramètre.

16. Cout du calcul en termes du nombre des multiplications: méthode du pivot, résolution du système linéaire, déterminant, matrice inverse. Méthode de Faddeev (Leverier) pour calculer le polynome caractéristique.

Analyse

Cours du 30 novembre

2) Différentiabilité (suite)

Exemples: différentielle des fonctions constantes, des applications linéaires, du produit scalaire. Pour une fonction d'une variable, la différentiabilité équivaut à la dérivabilité: si g:t|→g(t) est dérivable en s alors dg(s)(k)=kg'(s) quel que soit le réel k.

Lien avec les dérivées directionnelles: si f est différentiable en a alors elle admet une dérivée dans toute direction h et l'on a df(a)(h)=Dhf(a). Cas particulier des dérivées partielles. La matrice de df(a) dans les bases canoniques de Rd et Rp est la matrice jacobienne de f en a.

Règles de calcul. Différentielle de la somme de deux fonctions. Différentielle du produit d'une fonction scalaire par une fonction vectorielle.

Cours du 2 décembre

Théorème de différentiation des fonctions composées. Démonstration. Interprétation matricielle. Exemples: coordonnées polaires; différentielle de la norme euclidienne; différentielle des fonctions radiales.

Norme subordonnée des applications linéaires. Fonctions de classe C1. Théorème (admis pour l'instant): une fonction est de classe C1 si et seulement ses dérivées partielles existent et sont continues.

3) Intégration des fonctions vectorielles d'une variable réelle.

Définition de l'intégrale d'une fonction continue f sur un segment comme le vecteur dont les composantes sont les intégrales des composantes de f. Linéarité de l'intégrale. Relation de Chasles.

Cours du 7 décembre

Majoration de la norme de l'intégrale d'une fonction vectorielle par l'intégrale de la norme de cette fonction. Lien entre intégration et dérivation.

4) Théorème des accroissements finis

Rappel: Formule des accroissements finis pour les fonctions de R dans R.

Fonctions vectorielles d'une variable réelle: - Inégalité des accroissements finis pour les fonctions dérivables d'une variable réelle (admise). - Démonstration de l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions C1 d'une variable réelle. - Exemple d'inégalité stricte pour f:t|→ eit.

Conséquence: inégalité des accroissements finis pour les fonctions différentiables de plusieurs variables réelles.

5) Théorème d'inversion locale

Un difféomorphisme est une bijection différentiable dont la réciproque est différentiable. Un C1-difféomrophisme une bijection de classe C1 dont la réciproque est de classe C1.

Expression de la différentielle de la réciproque d'un difféomorphisme.

Théorème d'inversion locale: si f:U→V est de classe C1, si df(a) est un isomorphisme, il existe un voisinage ouvert Ua de a et un voisinage ouvert Vb de b=f(a) tels que la restriction de f à Ua soit un C1-difféomorphisme de Ua sur Vb.

Cours du 9 décembre

Lemme: l'ensemble des isomorphismes est un ouvert et l'application qui à un isomorphisme u associe son inverse u-1 est continue. démonstration en utilisant la continuité du déterminant; alternative en utilisant la série de terme général un (détails laissés pour le prochain semestre).

Théorème du point fixe: une fonction contractante d'un fermé dans lui-même admet un unique point fixe. Démonstration.

Démonstration du théorème d'inversion locale: début.

Cours du 14 décembre

Démonstration du théorème d'inversion locale. Théorème d'inversion globale (version multi-dimensionnelle du théorème de la bijection). Exemples de difféomorphismes: coordonnées polaires/cylindriques/sphériques.

6) Théorème des fonctions implicites

Énoncé. Application aux courbes de niveau d'une fonction de R2 dans R.

Cours du 16 décembre

Démonstration du théorème des fonctions implicites. Formule de différentiation des fonctions implicites.

7) Différentielle seconde

Définition, calcul pratique. Dérivées partielles d'ordre 2, matrice hessienne. Théorème de Schwarz: la différentielle seconde, lorsqu'elle existe, est symétrique (ou de façon équivalente, les dérivées partielles croisées sont égales). Démonstration.

8) Fonctions de classe Cn

Définition par récurrence des fonctions de classe Cn. Caractérisation (admise) par l'existence et la continuité des dérivées partielles d'ordre n. Définition de la différentielle d'ordre n à l'aide des dérivées partielles d'ordre n. Fonctions de classe C. Exemples: les fonctions constantes, les applications linéaires, les applications multi-linéaires.

Cours du 21 décembre

L'application qui à un isomorphisme associe son inverse est de classe C (partiellement admis). Calcul de sa différentielle.

Formule de Taylor avec reste intégral. Formule de Taylor-Young.

9) Extrema Définition d'un minimum/maximum local/global (strict). Conditions nécessaires, conditions suffisantes d'extremum local dans un ouvert.

Cours du 3 janvier

Précisions sur les différentielles d'ordre n (coefficients de la formule du multinôme).

Extrema liés (optimisation sous contraintes). Théorème des multiplicateurs de Lagrange.

Cours du 5 janvier

Exemple d'application des multiplicateurs de Lagrange: tout endomorphisme de Rd symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée.

10) Fonctions convexes

Définition d'une fonction convexe sur un convexe C de Rd. Caractérisation à l'aide de la différentielle et de la différentielle seconde, lorsqu'elles existent sur un ouvert contenant C.

Définition d'une fonction strictement convexe sur un convexe C de Rd. Caractérisation à l'aide de la différentielle, lorsqu'elle existe sur un ouvert contenant C.

Minimisation des fonctions convexes: i) si une fonction convexe admet un minimum local, il est global; ii) si de plus la fonction est strictement convexe, ce minimum global est strict et donc unique; iii) caractérisation du minimum à l'aide de la différentielle.

Cours du semestre de printemps
Analyse

Cours du 18 janvier

Chapitre: suites et séries de fonctions (généralités)

1) Quelques espaces de fonctions. Fonctions continues, continues par morceaux, de classe C1 par morceaux, périodiques. Pour simplifier, toutes les fonctions considérées sont à valeurs scalaires, c'est-à-dire dans R ou C.

Exemples de suites de fonctions continues dont la limite simple n'est pas continue.

Exemple de suite de fonctions bornées dont la limite simple n'est pas bornée.

Propriétés préservées par passage à la limite simple, pour les fonctions à valeurs réelles: - positivité, - monotonie, - convexité.

2) Convergence uniforme des suites de fonctions. Définition et comparaison avec la notion de convergence simple.

Techniques pour montrer que la convergence est uniforme: majorer “à la main” (sup |fn-f|)n par une suite (numérique) tendant vers 0, étudier la fonction |fn-f| pour en déduire que (sup |fn-f|)n converge vers 0.

Techniques pour montrer que la convergence n'est pas uniforme: minorer “à la main” (sup |fn-f|)n par un nombre strictement positif, trouver une suite (xn)n telle que ( (fn-f)(xn) )n ne tend pas vers 0. Exemples.

Critère de Cauchy uniforme. Théorème: une suite de fonctions est uniformément convergente si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme.

Théorème: la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue.

Théorème d'interversion de limites.

Définition d'un espace complet. Exemple: l'espace des fonctions continues sur [a,b] muni de la norme du sup.

3) Suites de fonctions et intégration

Définition de la convergence en moyenne sur un segment (c'est-à-dire un intervalle fermé et borné de R). Si la suite de fonctions (fn)n converge vers f en moyenne sur [a,b] alors la suite numériques (fn)n converge vers f.

Théorème: la convergence uniforme sur un segment implique la convergence en moyenne.

Exemples de “passage à la limite sous le signe ∫”: si f est continue sur [0,1] alors (∫ab f(x/n) dx))n converge vers f(0), et (∫ab f(nx))n dx)n converge vers 0;

Théorème de convergence dominée pour les intégrales sur un intervalle I quelconque (admis).

Application à l'exemple ci-dessus. Exemple où le théorème de convergence dominée ne s'applique pas.

Convergence en moyenne quadratique sur un segment.

Théorème: la convergence uniforme sur un segment implique la convergence en moyenne quadratique, et la convergence en moyenne quadratique sur un segment implique la convergence en moyenne.

4) Suites de fonctions et dérivation

Cours du 25 janvier

Exemple de suite de fonctions dérivables, convergeant uniformément et dont la limite n'est pas dérivable. Exemple de suite de fonctions dérivables, convergeant uniformément et dont la suite des fonctions dérivées ne converge pas.

Théorème: Si (gn)n est une suite de fonctions de classe C1 convergeant simplement vers une fonction g sur un intervalle I et si la suite des fonctions dérivées (g'n)n converge uniformément sur tout segment de I vers une fonction f, alors g est de classe C1 avec g'=f et la suite de fonctions (gn)n converge uniformément vers g sur tout segment de I.

Démonstration à l'aide du

Lemme: Si (fn)n est une suite de fonctions continues convergeant uniformément sur tout segment d'un intervalle I vers une fonction f alors, pour tout a dans I la suite (Fn)n des primitives des fn s'annulant en a converge uniformément sur tout segment de I vers la primitive de f s'annulant en a.

5) Théorèmes d'approximation

Théorème 1: Toute fonction continue par morceaux sur un segment est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier. Énoncé équivalent avec des epsilon.

Théorème 2 (Weierstrass), admis: Toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales. Énoncé équivalent avec des epsilon.

Théorème 3 (Weierstrass trigonométrique), démonstration laissée pour le chapitre sur les séries de Fourier: Toute fonction continue sur R et 2π-périodique est limite uniforme d'une suite de polynômes trigonométriques. Énoncé équivalent avec des epsilon.

6) Séries de fonctions

Définitions de base: convergence simple, convergence uniforme, sommes partielles, somme et restes d'une série convergente.

Proposition: Si une série de fonctions ∑fn est simplement convergente alors la suite (fn)n converge simplement vers la fonction nulle. Si cette série converge uniformément alors (fn)n converge uniformément vers la fonction nulle.

Cours du 1er février

Proposition: si une série converge simplement, elle converge uniformément si et seulement si ses restes convergent uniformément vers zéro.

Définition de la convergence uniforme sur tout compact.

Critère de Cauchy uniforme pour les séries.

Théorème des séries alternées. Application de la transformation d'Abel aux séries trigonométriques (sans dire leur nom).

Convergence absolue. Convergence absolue uniforme. Convergence normale. Exemples.

Cours du 8 février

La convergence normale implique la convergence absolue uniforme. Réciproque fausse.

Passages à la limite sous le signe ∑. Continuité de la somme d'une série uniformément convergente sur tout compact de fonctions continues.

Interversion ∑ et ∫ pour les séries uniformément convergentes de fonctions continues sur un segment.

Théorème de dérivation sous le signe ∑.

Chapitre: séries entières

1) Introduction

Définition d'une série entière, exemples.

Opérations formelles: somme, produit, dérivation, intégration.

2) Convergence

Définition du rayon de convergence.

Cours du 15 février

Calcul du rayon de convergence, cf fichier series_entieres.pdf.

Cours du 29 février

3) Propriétés de la somme d'une série entière, cf fichier series_entieres.pdf.

Cours du 7 mars

Théorème d'Abel-Dirichlet. Dérivabilité, intégration des sommes de séries entières. 4) Fonction exponentielle complexe, cf fichier series_entieres.pdf.

Cours du 14 mars

Définition de π. Fonctions trigonométriques et hyperboliques complexes. 5) Fonctions développables en série entière, cf fichier series_entieres.pdf.

Cours du 21 mars

Développement en série entière des fonctions usuelles. Séries entières et équations différentielles, cf fichier series_entieres.pdf.

Cours du 28 mars

Chapitre: séries de Fourier

Fontions périodiques. Polynômes trigonométriques, cf fichier series_fourier.pdf.

Cours du 4 avril

Séries trigonométriques. Coefficients de Fourier. Convergences des séries de Fourier (théorèmes généraux énoncés sans démonstration pour l'instant), cf fichier series_fourier.pdf.

Cours du 18 avril

Démonstration des théorèmes de convergence des séries de Fourier, cf fichier series_fourier.pdf.

Cours du 25 avril

Intégrales dépendant d'un paramètre: continuité, dérivabilité, intégrabilité. Intégrales généralisées des fonctions à valeurs complexes.

Cours du 2 mai

Intégrales généralisées dépendant d'un paramètre. Fonction Gamma. Transformation de Laplace.

roc1.pdf roc2.pdf roc3.pdf series_entieres.pdf series_fourier.pdf roc4.pdf

Travaux dirigés

Fiches de TD (premier semestre)
Avancement

Groupe P4 :

Feuille 1.
Feuille 2 sauf les exercices 10 et 15.
Feuille 3 sauf l'exercice 15.
Feuille 4.
Feuille 5.
Feuille 6.
Feuille 7 sauf l'exercice 7.
Feuille 8.
Feuille 9.
Feuille 10 : exercices 1 à 6.

Groupe P5 :

Feuille 1.
Feuille 2.
Feuille 3 sauf les exercices 9 et 15
Feuille 4.
Feuille 5.
Feuille 6.
Feuille 7.
Feuille 8.
Feuille 9.
Feuille 10: exercices 2,4,5,6

Devoirs

Parties communes (P4 et P5)

Deuxième semestre :

Problèmes CCP

Deuxième semestre :

  • Problème 7 : sujet et corrigé
  • Problème 8 : il consistait en les parties 1 A et 1 C d'un problème posé en 2005 au concours E3A, option PSI (quelques indications manuscrites avaient été ajoutées sur le sujet) et corrigé.
 
 
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