Mathématiques en cursus préparatoires première année - 2011-2012

Colles

Programme de colle : tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux derniers cours et travaux dirigés de la semaine précédente.

Cours

Analyse I : Les réels et les fonctions

Chapitre 1 : Les nombres réels

Les ensembles usuels de nombres. Entiers, rationnels. Exemples de nombres irrationnels.

Ensembles ordonnés. Notion d'ordre, de majorant, de minorant. Borne supérieure, borne inférieure.

Le corps des nombres réels. Rappels sur les corps. Théorème d'existence, propriété fondamentale. R est archimédien. Q est dense dans R. Caractérisation du sup.

Racines n-ièmes. Théorème d'existence et d'unicité des racines n-ièmes.

Valeur absolue, partie entière. Valeur absolue, inégalité triangulaire. Partie entière d'un réel.

Chapitre 2 : Les suites

Les suites, suites particulières. Suites arithmétiques, suites géométriques, formules de sommes. Suites arithmetico-géométriques.

Résolution des suites un+2=a un+1+b un. Equation caractéristique, formules explicites. Résolution avec conditions initiales explicites.

Limites. Approche heuristique de la notion de limite. Définition générale avec quantificateurs. Exemples de suites convergentes. Limites infinies. Toute suite convergente est bornée.

Propriétés des limites. Additions, produits, quotients de limites. Théorème des gendarmes. Toute suite monotone admet une limite. Suites adjacentes.

Sous-suites. Définition. Limites des sous-suites. Théorème de Ramsey. Théorème de Bolzano-Weierstrass.

Le critère de Cauchy. Définition d'une suite de Cauchy. Le critère de Cauchy.

Les suites complexes. Définitions. Différences et points communs avec les suites réelles.

Approximation des réels. Approximation des réels par les rationnels. Décomposition décimale des réels. Caractérisation des rationnels par la périodicité de la décomposition décimale.

Chapitre 3 : Fonctions d'une variable réelle

Définitions de bases. Domaine, image, image réciproque, graphe. Fonction injective, surjective, bijective. Fonction réciproque, graphe de la fonction réciproque.

Exemples. Fonctions affines. Fonctions puissances entières, entières relatives, inverses d'entiers, rationnelles. Valeur absolue, partie entière. Exponentielle, logarithme. Cosinus, sinus, tangente.

Limites. Définition des limites pour des fonctions.

Propriétés des limites. Caractérisation par les suites. Composition de limites. Limites de fonctions monotones ou localement monotones. Critère de Cauchy pour les fonctions.

Continuité. Définition de la continuité des fonctions. Continuité sous l'addition, le produit, le quotient ou la composition de fonctions.

Théorèmes fondamentaux. Max et min d'une fonction continue sur un intervalle. Théorème des valeurs intermédiaires.

Monotonie et continuité. Monotonie, continuité et injectivité. Points de discontinuité des fonctions monotones. Continuité de la fonction réciproque.

Log, exp, puissances. Définition des puissances réelles.

Comparaison de fonctions. Notation “o”. Comparaisons élémentaires : puissances, exponentielles, logarithmes. Opérations sur les “o”.

Dérivabilité. Fonction dérivable, fonction dérivée. Dérivabilité de sommes, produits, quotients de fonctions. Dérivabilité de composées de fonctions et de fonctions réciproques.

Fonctions usuelles. Dérivabilité et dérivée des fonctions usuelles.

Théorèmes fondamentaux de la dérivation. Signe de la dérivée et croissance. Extremum local. Théoreme de Rolle. Théorème des accroissements finis. Théorème de la limite de la dérivée.

Chapitre 4 : Equations différentielles

Introduction. Equations différentielles, exemples, ordre.

Equations différentielles d'ordre 1 sans second membre.

Equations différentielles d'ordre 1 avec second membre.

Chapitre 5 : Fonction circulaires et hyperboliques

Fonctions circulaires réciproques. Arccos, arcsin, arctan.

Fonctions hyperboliques. ch, sh, th.

Fonctions hyperboliques réciproques. Argch, argsh, argth.

Algèbre I : structures fondamentales

Chapitre 1 : Éléments de logique

Phrases. Lettres, mots, phrases.

Vérité et connecteurs. Valeur de vérité booléenne attribuée à une phrase syntaxiquement correcte. Négation. Conjonction. Disjonction. Implication.

Variables et quantificateurs. Variables muettes et liées. Quantificateurs. Illustration, variante.

Quelques méthodes de preuve. Raisonnement direct, raisonnement par l'absurde, par contraposée. Disjonction de cas. Récurrence.

Chapitre 2 : Ensembles et applications

Ensembles. Ensembles : pas de définition, relation d'appartenance, définition en extension et en compréhension, paradoxe de Russell, ensemble vide, idée de cardinal. Ensemble des parties. Opérations sur les ensembles : intersection, réunion, différence et complémentaire, couples et produit cartésien. Relations, ordre, équivalence.

Applications. Définition des fonctions et applications, image, antécédent. Injection, surjection, bijection, bijection réciproque. Image directe et image réciproque d'une partie.

Cardinalité. Équipotence, théorème de Cantor-Bernstein (admis). Dénombrabilité. Ensembles finis : principe des tiroirs, critère de bijectivité.

Rudiments de dénombrements. Lemme des bergers. Produit cartésien et applications. Injections et bijections. Parties.

Familles.

Chapitre 3 : Complexes

Construction du corps des complexes. Règles de calcul sur les réels. Le but. Construction des complexes, simplification de l'écriture. Absence d'un ordre compatible aux opérations.

Propriétés algébriques. Parties réelle et imaginaire, conjugaison. Module, inégalité triangulaire. Racines carrées, équations du second degré, théorème de D'Alembert-Gauss (admis).

Argument. Fonctions trigonométriques : construction à partir de y''+y=0, formulaire (plus de détails). Nombres complexes de module 1 : application t→eit, arguments d'un complexe de module 1. Arguments d'un nombre complexe non nul.

Exemples de calculs. Résolution des équations cos x = cos a et sin x = sin a. Module et arguments de eia-eib. Somme des termes d'une suite géométrique.

Racines nes. Puissances. Racines nes : définition, racines carrées (v. 2), cas général. Racines de l'unité, deuxième description des racines nes en termes des racines de l'unité, somme des racines de l'unité.

Chapitre 4 : Géométrie plane

Géométrie affine. Points et vecteurs, vecteur associé à un couple de points, opérations sur les vecteurs, relation de Chasles. Bases : colinéarité et déterminant, base et coordonnées dans une base, (matrice de) changement de base. Repères, changement de repère. Bases directes et indirectes, orientation. Droites : droite définie par un point et un vecteur, par deux points distincts, représentation paramétrique, équation cartésienne.

Géométrie euclidienne. Produit scalaire : définition, norme associée, orthogonalité et Pythagore, Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire, base orthonormée (BON) et invariance du produit scalaire par changement de BON, affixe d'un point par rapport à un repère orthonormé. Rotations et similitudes : applications affines, isométries en coordonnées cartésiennes, isométries en complexes, similitudes. Angles : définition, mesure, trigonométrie, préservation des angles par similitude. Coordonnées polaires.

Cercles. Cercles : définition, équation cartésienne, représentation paramétrique. Théorème de l'angle inscrit. Birapport et cocyclicité. Groupe modulaire.

Chapitre 5 : Géométrie dans l'espace

Opérations vectorielles. Points et vecteurs dans R3, somme et produit par un scalaire. Colinéarité et produit vectoriel. Produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz. Produit mixte, trilinéarité et anti-symétrie du produit mixte. Volume d'un parallélogramme, d'un parallélépipède et déterminants/produits mixtes.

Bases et repères. Bases : non-annulation du produit mixte et propriété de base, (matrice de) changement de base. Orthogonalisation : familles orthogonales/orthonormales, procédé de Gram-Schmidt, coordonnées dans une base orthonormée. Repères (orthonormés) : définition, changement de repère.

Droites, plans. Droites : droite définie par un point et un vecteur ou par deux points, représentation paramétrique. Plans : plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires ou par trois points non alignés, représentation paramétrique et équation cartésienne ; position relative de deux plans ; géométrie dans un plan. Orientations : orientations de l'espace, d'une droite de l'espace, d'un plan de l'espace conformément à l'orientation d'une droite orthogoale. Aparté-application : rotations. Description géométrique du produit vectoriel (par sa norme, sa direction et son sens).

Sphères. Définition, équation cartésienne. Intersection d'une sphère et d'un plan. Paramétrage d'une sphère.

Coordonnées sphériques et cylindriques.

Algèbre II : algèbre linéaire

Chapitre 6 : Espaces vectoriels

Généralités. Corps, exemples. Définition d'un espace vectoriel, exemples. Famille, combinaison linéaire, exemples dans R2 et R3 (toutes les familles sont finies).

Familles libres et génératrices. Familles libres. Familles génératrices. Lien entre familles libres et génératrices. (Les espaces vectoriels sont supposés avoir une famille génératrice finie.)

Bases. Définition, exemple de la base canonique de Kn. Théorème de la base incomplète. Invariance du cardinal des bases : dimension.

Sous-espaces vectoriels. Sous-espace, sous-espace engendré par une famille. Dimension d'un sous-espace, rang d'une famille. Intersection, somme, somme directe, formule de Grassmann. Supplémentaires, existence de supplémentaires.

Quelques mots sur la dimension infinie. Combinaisons linéaires de familles infinies. Théorème de la base incomplète, dimension, existence de supplémentaires (tout admis).

Chapitre 7 : Applications linéaires

Généralités. Définitions, exemples. Opérations.

Sous-espaces associés à une application linéaire. Noyau, critère d'injectivité. Image.

Théorème du rang. Théorème du rang, version abstraite. Formule du rang. Application : critère de bijectivité.

Construction d'applications linéaires. Application définie par l'image d'une base. Projecteurs. Application définie par restriction à deux supplémentaires.

Chapitre 8 : Polynômes et fractions rationnelles

Chapitre 9 : Matrices

Espaces de matrices. Définition, opérations linéaires (somme et produit par un scalaire). Matrice d'un vecteur dans une base. Produit d'une matrice par un vecteur, application linéaire associée à une matrice A de taille (m,n) (KnKm, X→AX).

Matrice d'une application linéaire. Définition, linéarité. Isomorphisme entre espaces de matrices et espaces d'applications linéaires. Calcul de l'image d'un vecteur.

Produit de matrices et composition. Définition du produit de matrices, bilinéarité, associativité. Matrice de la composée et produit des matrices des applications linéaires. Application : inversibilité. Algèbres de matrices carrées.

Changement de base. Matrice de changement de base. Formule de changement de base pour une application linéaire.

Rang d'une matrice. Définition, lien avec le rang de l'application linéaire associée. «Forme normale» d'une matrice rectangulaire. Théorème du rang, version matricielle. Rang selon les lignes, rang de la transposée.

Systèmes linéaires. Étude théorique (par le théorème du rang). Algorithme du pivot de Gauss. Matrices échelonnées ?

Travaux dirigés

Groupe CCP (P1)

Planches (premier semestre)
Avancement
  • Feuilles 1 à 8.
  • Feuille 9 : exercices 1, 4, 7 à 9, 13 à 18, 20 à 23.
Fiches de TD du deuxième semestre
Avancement

* Semaine 1 : Algèbre - exercices 1 à 5 et début du 7. Analyse - exercices 8, 11 à 13 et 18

* Semaine 2 : Algèbre - avancé dans le 7 (inachevé), touché un peu au 6, 40 et 39 (inachevé). Analyse - exercices 19, 21, 23, 28, 34, 35

* Semaine 3 : Algèbre - exercices 43 à 46 et 49 (pas fini). Analyse - exercices 26 (fait à la maison -seulement fourni les résultats), 27, 30 (pour la formule du 28 autour de 0), 32, 36 (2), 58.

* Semaine 4 : Algèbre - corrigé la fin du 49 et le 47 (supposés travaillés à la maison), puis fait exercices 54, 55 et 71. Analyse - exercices 61, 62 (qui s'est révélé anticiper le cours, du coup le 2 est mis au chaud pour plus tard), 63 et 67 pas tout à fait achevé.

* Semaine 5 : Algèbre - corrigé le 70 et 73 (supposés travaillés à la maison), puis fait exercices 72, 74 et 81. Analyse - exercices 65, 66, 96 et 97 (pas achevé).

* Semaine 6 : Algèbre - corrigé le 75 (supposé travaillé à la maison), puis fait exercices 82 à 85, 87 et 89. Analyse - exercice 68 (en principe regardé à la maison, mais ça n'avait pas l'air d'être vraiment le cas, à quelques exceptions près), corrigé rapidement le 64 puis le coin sur les fonctions uniformément continues (exercices 76 à 78) puis commencé les calculs (exercices 110 et 111, plus un exemple de changement de variables).

* Semaine 7 : Algèbre - corrigé le 86 (supposé travaillé à la maison, mais non pas vraiment - ai dû faire un rappel ferme au travail), puis fait exercices 91, 93, 94 et 101. Analyse - questions a) à g) du 113 et questions a) et b) du 115.

* Semaine 8 : Algèbre - corrigé le 102 (supposé travaillé à la maison, et là encore… c'est pas sérieux). Fait les 103, 104 et 106 1). Analyse - fait les 112, 98, 113 h, k, l, p et q le 120 a et (de facto) le 116 a (présenté autrement).

* Semaine 9 : Algèbre - exercices 108, 123, 124 et 125. Analyse - exercices 127 (sans tous les détails), 115 f), 120 f) et j), 130 (pas fait le 5)).

* Semaine 10 : Algèbre - exercice 126 et un exercice non imprimé (tiré des fiches des autres groupes). Analyse - exercices 117, 119, 154, 155 (sauf les questions g et k).

* Semaine 11 : Algèbre - exercices 140 à 142, puis 132, 133, 135, 136. Analyse - exercices 166 (préparé à la maison), 165, 167, 159, 169 première question, 160 c) seulement.

* Semaine 12 : Algèbre - exercices 137 à 139, puis 143 (pas toutes les questions), 144 et 145. Analyse - exercices 160 d), e), f) g), 161, 168 (deux exemples) et 182 pour commencer Taylor-Lagrange.

* Semaine 13 : Algèbre - exercices 146 (supposé préparé à la maison), 147 à 151 et 178. Analyse - exercices 184, 185, 186, 190. Géométrie - exercices 193, 200.

* Semaine 14 : Algèbre - exercices 191 (a, c, d, f, g) et 192. Analyse - exercice 189. Géométrie - exercices 194, 195, 196, 197.

* Semaine 15 : Géométrie - exercices 198 (supposé préparé à la maison - quatre étudiants seulement l'avaient regardé !!! Pour la semaine prochaine j'ai exigé qu'ils rédigent et me rendent quelque chose), 199, 205. Algèbre : exercices 206, 207, 210, 213 (sans rédiger les détails, presque maltraité), 215, Tr(AB=Tr(BA), 221, 222 (oui on a foncé !)

* Semaine 16 : Analyse - fiche fournie par Damien Gayet, merci à lui. Exercices 1, 2 (en sautant le 6), 3 (sans le 3) et 5. Algèbre : une dernière matinée sur les matrices, centrée sur les changements de base.

Groupes EPU (P2 et P3) Algèbre

Planches (premier semestre)
Avancement
  • Feuille A1 à A5
  • Feuille 8 (Géométrie de CCP Groupe P1) - exercices 5,7-10,12-24
  • Feuille A7 (Bases, matrices, vecteurs)
Fiches de TD du deuxième semestre

Groupes EPU (P2 et P3) Analyse

Planches (premier semestre)
Avancement
  • Feuille Réels.
  • Feuille Suites.
  • Fonctions réelles, limites et continuité.
Fiches de TD du deuxième semestre communes au groupe P1

Devoirs

Parties communes (P1, P2 et P3)

Problèmes CCP

Deuxième semestre :

 
 
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