Licence de mathématiques première année (2022-2023) -- Algèbre 2 séquence 3 (amphi math) (MAT1054L)

Modalités de Contrôle des Connaissances

Note_UE = 0.1*Note_CC1+0.2*Note_CC2+0.1*Note_CC3+0.2*Note_CC4+0.4*Note_(CT).

Toute absence justifiée donnera lieu à une convocation à un examen de substitution qui aura lieu en fin de semestre. L'absence à cet examen de substitution équivaut à un 0/20.

Cours

Enseignant : Khaled Saleh (mél)

Notes de cours partielles

Avancement du cours

17 janvier : [Chapitre 1: Matrices, systèmes linéaires] Définitions. Sommes de matrices et propriétés (associativité, commutativité, inverse). Multiplication par un scalaire et propriétés. Matrices élémentaires. Produit de matrices et propriétés: distributivité (démo à connaître), associativité (démo à connaître). Non commutativité du produit. Produit par blocs. Matrice identité. Puissances d'une matrice carrée. Exemples de calculs de puissances de matrices carrées. Matrices nilpotentes. Formule du binôme de Newton. Factorisation de A^p-B^p (démo à connaître).

19 janvier : [Chapitre 1: Matrices, systèmes linéaires] Inverse d'une matrice carrée et propriétés: unicité de l'inverse (démo à connaître), inverse d'un produit (démo à connaître). Opérations élémentaires (OE) sur les lignes et les colonnes d'une matrices nxp. Matrices associées à ces opérations. Méthode du pivot de Gauss: transformation d'une matrice en une matrice échelonnée (en lignes) réduite par des OE sur les lignes. Utilisation de la méthode du pivot de Gauss (sur les lignes) pour calculer l'inverse d'une matrice carrée: un exemple a été vu en cours.

24 janvier : [Chapitre 1: Matrices, systèmes linéaires] Matrices triangulaires. Elles sont inversibles ssi tous les termes diagonaux sont non nuls. Transposition de matrices et propriétés de la transposition vis-à-vis des opérations usuelles. Matrices symétriques et anti-symétriques. Trace des matrices carrées et propriétés de la trace vis-à-vis des opérations usuelles. Tr(AB)=Tr(BA) (démo à connaître). Résolution de systèmes linéaires par la méthode du pivot de Gauss.

31 janvier : [Chapitre 2: Espaces vectoriels] Structures de groupe et d'espace vectoriel. Exemples d'espaces vectoriels. Combinaisons linéaires. Sous-espaces vectoriels (sev). Sev engendré par une partie d'un espace vectoriel. Sous-espaces vectoriels en somme directe.

7 février : [Chapitre 2: Espaces vectoriels] F et G sont en somme directe ssi F∩G = {0} (démo à connaître). Sous-espaces vectoriels supplémentaires. Exemples. Familles libres, génératrices et bases. Exemples.

21 février : [Chapitre 2: Espaces vectoriels] Théorème des degrés échelonnés (démo à connaître). Soit (x_1,..,x_n) une famille de vecteurs, elle est liée ssi l'un au moins des vecteurs est CL des autres (démo à connaître). Soit (x_1,..,x_n) une famille libre de E et x∈E. Alors (x_1,..,x_n)∪{x} est libre ssi x∉vect(x_1,..,x_n) (démo à connaître). Théorème de recollement (démo à connaître): Soit un E un espace vectoriel, F et G deux sev de E. Soit (f_1,..,f_p) une base de F et (g_1,..,g_q) une base de E. Alors: (f_1,..,f_p)∪(g_1,..,g_q) est génératrice de E ssi E=F+G, (f_1,..,f_p)∪(g_1,..,g_q) est libre dans E ssi F et G sont en somme directe, (f_1,..,f_p)∪(g_1,..,g_q) est une base de E ssi F et G sont supplémentaires. Espaces vectoriels de dimension finie (définition: il existe une famille génératrice finie). Théorème: si (x_1,..,x_m) est une famille génératrice finie, alors toute famille libre a au plus m éléments. Dans un espace vectoriel E de dimension finie, toutes les bases ont même cardinal (démo à connaître). Cet entier s'appelle la dimension de E. Théorème de la base incomplète: dans un ev de dim finie: de toute famille génératrice finie, on peut extraire une base. On peut compléter toute famille libre en une base, en sélectionnant des vecteurs dans une famille génératrice quelconque. Dans un espace vectoriel de dimension infinie, il existe une famille libre infinie. Sous-espaces vectoriels en dimension finie: Si E est de dim finie et F sev de E alors F est de dim finie et dim F ≤ dim E. De plus F=E ssi dim F = dim E. Si F,G sont deux sev de dim finie alors: dim(F⊕G)= dim F + dim G. Formule de Grassmann: dim(F+G)=dim F +dim G -dim(F∩G). F et G sont supplémentaires ssi F∩G = {0} et dim E = dim F + dim G.

28 février : [Chapitre 3: Fractions rationnelles] Fractions rationnelles: définition, degré, forme irréductible, zéros et pôles. Décomposition en éléments simples de P/Q lorsque Q est scindé et lorsque Q ne l'est pas (forme à connaître).

14 mars : [Chapitre 3: Fractions rationnelles] Exemples d'applications: calcul de sommes, de primitives de fractions rationnelles.

14 mars : [Chapitre 4: Applications linéaires] Définition d'une application linéaire (AL). Ensemble des AL de E dans F: L(E,F). Endomorphismes, formes linéaires. Exemples. L(E,F) est un espace vectoriel. La composée de deux AL est une AL (démo à connaître). La bijection réciproque d'une AL bijective est une AL (démo à connaître). Isomorphismes, automorphismes. L'ensemble des automorphismes sur E, GL(E) est un groupe pour la loi de composition. Attention : GL(E) n'est pas un sous-espace vectoriel de L(E,F).

21 mars : [Chapitre 4: Applications linéaires] Noyau et image d'une AL. Soit u∈L(E,F), u injective ⇔ Ker u ={0}, u surjective ⇔ Im u = F (démo à connaître). Image d'une famille par une AL (démo à connaître): si (x_i) est libre et u injective alors (u(x_i)) est libre. Si (x_i) est génératrice et u surjective alors (u(x_i)) est génératrice. Si (x_i) est une base et u un isomorphisme alors (u(x_i)) est une base. Théorème noyau-image: soit u∈L(E,F), soit S un supplémentaire de Ker u dans E, alors la restriction de u à S est un isomorphisme de S dans Im u. Détermination d'une AL à partir d'une base: théorème fondamental de l'algèbre linéaire: Soit E,F deux K-ev, soit (e_i)_{i∈I} une base de E. Pour toute famille (f_i)_{i∈I} de vecteurs de F, il existe une unique AL u∈L(E,F) telle que u(e_i)=f_i, pour tout i∈I. Corollaire du théorème fondamental: deux AL qui coïncident sur une base de E sont égales. Détermination d'une AL à partir d'une somme directe: On suppose E=⊕E_i. Pour tout i on se donne une AL u_i:E_i→F. Alors il existe une unique AL u∈L(E,F) dont la restriction à chaque sev E_i coïncide avec u_i.

22 mars : [Chapitre 4: Applications linéaires] Image d'une base par une AL: soit (e_i) une base de E et u∈L(E,F). Alors u injective ⇔ (u(x_i)) est libre, u surjective ⇔ (u(x_i)) est génératrice, u est un isomorphisme ⇔ (u(x_i)) est une base de F. Applications linéaires en dimension finie. Soit u∈L(E,F) et (e_i) une base de E. Alors Im u=Vect{u(e_i)}. On appelle rang de u∈L(E,F) et on note rg(u) la dimension de Im u. On a rg(u) ≤ dim E et rg(u) ≤ dim F. Théorème: soit E,F de dimensions finies et u∈L(E,F). Alors u injective ⇔ rg(u)=dim E, u surjective ⇔ rg(u)=dim F, u est un isomorphisme ⇔ rg(u)=dim E = dim F. Soit E,F de dimensions finies, E et F sont isomorphes ⇔ dim E= dim F. Théorème: Soit E,F de dimensions finies et u∈L(E,F), on suppose dim E= dim F, alors u injective ⇔ u surjective ⇔ u bijective. Théorème du rang. Soit E,F deux K-ev avec E de dimension finie. Alors dim E= dim Ker u + rg(u).

28 mars : [Chapitre 5: Représentation matricielle des applications linéaires] Soit E de dim finie p et F de dim finie n. Si B est une base de E et C est une base de F, et si u: E→F est une application linéaire. Alors la matrice de u relativement aux bases B et C est la matrice Mat_{C,B}(u) (avec la base de F avant la base de E !) de M_{n,p}(K) dont les colonnes sont les coordonnées des images par u des vecteurs de B exprimés dans la base C. L'application u → Mat_{C,B}(u) est un isomorphisme de L(E,F) dans M_{n,p}(K) (démo à connaître). Application linéaire canoniquement associée à une matrice. Matrice d'un endomorphisme. Exemples importants: matrices de l'application identité, d'une homothétie. Image d'un vecteur par une application linéaire: y=u(x) ssi Y=AX où X la matrice colonne représentant x dans B, Y la matrice colonne représentant y dans C et A=Mat_{C,B}(u). Matrice et composition d'applications linéaires Mat(vou)=Mat(v)xMat(u).

4 avril : [Chapitre 5: Représentation matricielle des applications linéaires] Isomorphisme et matrice représentative. Soit u:E→F et A=Mat_{C,B}(u). Alors u est un isomorphisme (dans ce cas dim E = dim F et A est carrée) ssi A est inversible. On a alors A^{-1}=Mat_{B,C}(u^{-1}). Calcul du noyau et de l'image d'une application linéaire à l'aide de sa matrice représentative. Changements de base. Matrice de passage: Soit E de dim finie, B une base de E et B' une autre base de E. On appelle matrice de passage de B à B' la matrice P_{B,B'} de l'application Id: (E,B')→ (E,B). Les colonnes de P_{B,B'} sont les vecteurs de B' exprimés dans la base B. P_{B,B'} est inversible d'inverse P_{B',B}. Soit x∈E et X la matrice colonne représentant x dans B, X' la matrice colonne représentant x dans B'. Alors X=P_{B,B'}X' (démo à connaître). Matrices équivalentes. Elles représentent la même app. linéaire dans des bases différentes. Lien avec les matrices de passage. La relation d'équivalence de matrice est une relation d'équivalence.

18 avril : [Chapitre 5: Représentation matricielle des applications linéaires] Matrices semblables. Elles représentent le même endomorphisme dans des bases différentes. Lien avec les matrices de passage. C'est une relation d'équivalence. Application au calcul des puissances d'une matrice, à l'aide d'une matrice semblable plus simple (à savoir faire). Rang d'une matrice = rang de toute application linéaire représentée par cette matrice. A et B sont équivalentes ssi rg(A)=rg(B). Une matrice de rang r se ramène par opérations élémentaires à la matrice J_r. Systèmes linéaires. Ecriture matricielle : chercher X tq AX=Y. Classification de l'ensemble des solutions en fonction de rg(A).

Travaux dirigés

Feuilles d'exercices :

Avancement des TD

Groupe MP (S. Gauthier, E. Fouassier) (à noter : ce groupe n'a pas la même répartition des heures au cours du semestre) :

  • Semaine 1 : TD 1 exercices 1 à 7.
  • Semaine 2 : TD 1 exercices 8 à 14 ; exercice 16.
  • Semaine 3 : TD 1 exercices 15 et 17 ; TD 2 exercice 1 (Q 1,2,4,8), exercice 2 (Q2), exercice 3 (Q 1,2), exercice 6 (Q1).
  • Semaine 4 : TD 2 fin de l'exercice 6 ; exercice 1 Q7 ; exercice 4 Q1, Q2 et Q5 ; exercice 5 presque terminé.
  • Semaine 5 : TD 2 fin de l'exercice 5 ; exercices 7, 8, 9, 10, 12, 16 ; exercice 13 (Q1,Q2,Q3).
  • Semaine 6 : TD 2 exercices 14, 15, 17, 20-23.
  • Semaine 7 : TD 3 exercices 1, 3 et 4.
  • Semaine 8 : pas de TD.
  • Semaine 9 : TD 4 exercice 1 (Q1,Q2,Q3,Q4), exercices 2, 3 et 4.
  • Semaine 10 : TD 4 exercices 5 à 12.

Groupe A (Pascal Lainé) :

  • 26/01 : TD 1 exercices 1, 2 (S_1), 3 (inachevé), 5, 6, 7, 8, 9 (1,2,3,4a.,4.b).
  • 02/02 : TD 1 exercices 2 (S_2) et (S_3), fin de l'exercice 9, 10-15.
  • 09/02 : TD 1 exercices 16, 17, 18 (1 et 2). TD 2 exercices 1, 2 et 3 (1 et 2).
  • 23/02 : TD 2 exercices 3 (3 et 4), 4 (1, 4 et 5), 6, 7 (b c et d) et 9 (1 et 2).
  • 02/03 : TD 2 exercices 9 (3), 10, 12, 16.

Groupe B (Paul Marconnet) :

  • 26/01 : TD1, Ex. 1 (Q. 1, 2, 4), Ex. 2 (S1 et S3), Ex. 3 à 8.
  • 02/02 : TD1, Ex. 9, 10, 14, 15, 16. Refait Ex. 3.
  • 09/02 : TD1, Ex. 11, 12, 13. TD2, Ex. 1, 2.
  • 23/02 : TD2, Ex. 3, 6, 7. Débrief CC1.
  • 02/03 : TD2, Ex. 8, 9, 12, 13, 16 (1 et 2a. Fin de la correction transmise à la fin du TD).
  • 09/03 : TD2, Ex. 16, 10, 11.
  • 16/03 : TD3, Ex. 1, 2(1), 3, 4(1). Questions non-traitées à finir en exercice.
  • 23/03 : TD4, Ex. 1, 2, 3, 4, 5. A préparer pour la prochaine fois : Ex. 6, 7.
  • 30/03 : TD4, Ex. 6, 7, 8, 9, 10, 14.
  • 06/04 : TD5, Ex. 1 à 5.

Groupe C (P.-D. Thizy) :

  • 26/01 : TD1, exercices 1-6.
  • 02/02 : TD1, exercices 7-9, 11-13, 14 (1-2), 15-17.
  • 09/02 : TD2, exercices 1-5 (2). Exercice 5 (3) à travailler.
  • 23/02 : TD2, exercices 5-7, 8 à finir.
  • 02/03 : TD2, exercices 8 (fin), 9, 10, 12, 16 (début).
  • 09/03 : TD2, exercices 16 (fin), 13, 22.
  • 16/03 : TD2, exercices 19, 20. TD3, exercices 1 (1-6), 2 (1), 3, 4 (1).
  • 23/03 : TD4, exercices 1-6.
  • 30/03 : TD4, exercices 7-12 (2).
  • 06/03 : TD4, fin. TD5, exercices 1-4 (1).
  • 20/04 : TD5, exercices 4 (2)-9 (3).
  • 27/04 : TD5, fin.

Groupe D (Pierre Lavaurs) :

  • 25/01 : TD1 : exercices 1 à 8
  • 02/02 : TD1 : exercices 9 à 10 sauf le 10
  • 09/02 : TD1 : exercices 10, 15 et 17. TD 2 : exercices 1 et 2
  • 23/02 : TD2 : exercices 3 à 7.
  • 02/03 : TD2 : exercices 8, 10, 12, 13.1, 16 (sélection de questions).
  • 09/03 : TD2 : exercices 13.3, 21, 18 et 14.
  • 16/03 : TD2 : exercices 19 et 20. TD3 : exercices 1 (sauf 7) et 4.
  • 23/03 : TD3 : exercices 2 et 3. TD4 : exercices 1 à 5.
  • 30/03 : TD4 : exercices 6 à 11.
  • 06/04 : TD4 : exercices 12, 14 et 15. TD 5 : exercices 1 à 3.
  • 20/04 : TD5 : exercices 4 à 8.
  • 27/04 : TD5 : exercices 9 à 12, en sautant des trucs.

Groupe E (Y. Bossut) :

  • 02/03 : TD2 : exercices 9 à 14.
  • 09/03 : TD2 : exercices 16 et 17.
  • 30/03 : TD4 : exercices 1 à 12.

Groupe F (C. Dugourd, A. Marzorati) :

  • 25/01 : TD1 : exercices 5, 1, 2, 3, 9
  • 02/02 : TD1 : exercices 4, 6, 7, 8, 11-15
  • 09/02 : TD1 : exercice 10 – TD2 : exercices 1, 2, 6, 7(a,c)
  • 23/02 : TD2 : exercices 7(b,d), 3, 4, 5, 12(1-3)
  • 02/03 : TD2 : exercices 12(4), indications 8, 9(1,2), 10, 16 (1:F1-F4, 2, 3, 4), 13(1)
  • 09/03 : TD2 : exercices 9(3), 16(F5, F6), 17(a différent de 1 et -2, a=1)
  • 16/03 : TD2 : exercices 17(fin), 14 et 15 / TD3 : exercice 1(1,2,4,5,6,8)
  • 23/03 : TD3 : exercices 3 et 4(1)/ TD4 : exercices 1 (1,2,3,5), 2, 4, 6, 8(1,2)
  • 30/03 : TD4 : exercices 8(3,4), 9, 10, 12, 15
  • 06/04 : TD4 : exercices 11,13,14 / TD5 : exercices 1 à 4, 5 (1)
  • 20/04 : TD5 : exercices 5(2), 6, 8, 9, 10, 12
  • 27/04 : TD5 : fin

Evaluations

Annales

  • Examen final Fondamentaux des Mathématiques 2 (ex Algèbre 2+ Analyse 2) : Sujet
  • Examen final Fondamentaux des Mathématiques 2 (ex Algèbre 2+ Analyse 2), session de rattrapage : Sujet

En algèbre, le programme est identique au programme de 2022.

Ressources

Livres :

Cours de Mathématiques (A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron)

Aussi (livres disponibles à la BU) : Dunod, Licence 1re année MIAS-MASS-SM, Algèbre 1re année et Analyse 1ère année (François Liret et Dominique Martinais). Cours avec exercices corrigés.

Pour s'entraîner:

Cours et exercices: Le site Exo7.

 
 
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