Mathématiques en cursus préparatoires première année - 2019-2020

Fondements des Mathématiques II

Contrôle des connaissances

Colles : 40% (la moyennes des six meilleures notes y compris la note WIMS/QCM)

DS : 30% (la moyenne des trois meilleures notes ; pour les P1, la note d'une DS est la moyenne du DS commun et du DS spécifique la semaine suivante)

Contrôle final (commun à tous les parcours) : 30%

Colles

Lundi 17h30 ou 18h30 Mardi 17h30 ou 18h30

Programme de colle : Tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux cours et travaux dirigés de la semaine précédente. Il y aura des questions de cours et des exercices. Les démonstrations du cours sont exigibles.

Colloscope

Cours

Enseignant : Christian Mercat (mél, web)

Le contenu : Le polycopié

Livres recommandés : M@ths en Ligne (Université Joseph Fourier Grenoble 1), Cours de Mathématiques (A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron) Le cours de Stéphane Attal

Interactivité : Livret geogebra Classe WIMS (identifiant UCBL puis, pour l'inscription à la classe: wims) l'utilisation de WIMS sera comptée, ainsi que les réponses aux QCM en amphi comme une note de colle. Wooclap FDM2UCBL Envoyez @FDM2UCBL au 06 44 60 96 62 puis vos réponses aux questions affichées.

Le cours sera divisé en deux parties en parallèle : Algèbre (normalement le lundi après-midi) et analyse (normalement le jeudi après-midi).

Algèbre

Le gros point du cours est l'algèbre linéaire, en particulier les matrices, intervenant par exemple en théorie des graphes, comme matrice de transition d'un processus de Markov, dans l'analyse de sondages par analyse en composantes principales, dans le calcul de la renommée d'un site internet (GoogleRank), ou bien, en lien avec l'analyse, les solutions d'équations différentielles ou leur analogue discret, les suites récurrentes.

Analyse

Si toute fonction dérivable peut être vue comme une droite en première approximation, dont la pente est la dérivée de la fonction, en allant plus loin on peut, sous certaines conditions, la remplacer par des polynômes de degrés de plus en plus élevés. Cette dépendance entre les valeurs de la fonction et ses dérivées successives peut être comprise d'une manière dynamique, évolutive, ce sont les équations différentielles. L'intégration sera un outil très utile dans ce cadre.

Avancement du cours

  • Jeudi 16/1: Algèbre système, matrice, application linéaire définie par l'image des vecteurs de la base canonique, rangés en colonne dans une matrice, multiplication par un scalaire, combinaison linéaire, matrice nulle, produit scalaire entre deux vecteurs, image d'un vecteur par une application linéaire comme produit d'une matrice colonne par la matrice, produit de matrices, matrices carrées, matrice identité, puissances, exemples.
  • Vendredi 17/1: Analyse comparaisons, o, O, ~, ∀ε ∃δ vs ε(x) dans la démonstration des propriétés (linéarité, transitivité, multiplicativité), théorème de Rolle, théorème des accroissements finis.
  • Lundi 20/1: Algèbre opérations élémentaires sur un système, représentation matricielle par multiplication à gauche et opérations sur les lignes; transposée, opérations sur les colonnes et multiplication à droite; noyau et image d'une matrice, opérations sur les lignes préservent le noyau, opérations sur les colonnes l'image; matrice échelonnée, échelonnée réduite; équivalence en ligne, en colonne; méthode du pivot de Gauß, démonstration, exemple.
  • Jeudi 23/1: Analyse Théorème de Taylor-Young (démonstration par récurrence sur le degré exigible en colle).
  • Lundi 27/1: AlgèbreQCM de 10 minutes en amphi! 14h-14h10 exemple 1exemple 2 exemple 3 Opérations élémentaires sur un système, représentation matricielle par multiplication à gauche et opérations sur les lignes; transposée, opérations sur les colonnes et multiplication à droite; noyau et image d'une matrice, opérations sur les lignes préservent le noyau, opérations sur les colonnes l'image; matrice échelonnée, échelonnée réduite; équivalence en ligne, en colonne; méthode du pivot de Gauß, démonstration, exemple.
  • Jeudi 30/1: Analyse Démonstration des théorèmes de Taylor-Lagrange et Taylor avec reste intégral. Définition des développements limités, unicité de la partie régulière en un point et à un ordre donné, propriétés de linéarité et de produit (pas encore la composée).
  • Lundi 3/2: Algèbre Inversion d'une matrice par la méthode de Gauß. Méthode du pivot de Gauß pour un unique vecteur. Chapitre 2: Espaces vectoriels. Corps commutatifs, combinaisons linéaires, espaces vectoriels, “abstract non-sense” du genre (-1).u=-u.
  • Jeudi 6/2: Analyse Composition et intégration des développements limités. Obtention des développements usuels en 0. Exemple de tan par deux méthodes : division par puissances croissantes, puis développement de sin/cos en écrivant 1/cos comme 1/(1-u).
  • Lundi 10/2: Algèbre Colinéarité, combinaison linéaire, famille libre, famille génératrice, sous-espace vectoriel, exemples (droites, plans dans R^3, compréhension géométrique de ax+by+cz=d dans une base orthonormée et de la condition linéaire d=0, matrices, noyau et image d'une matrice, suites récurrentes, convergentes, contrexemple divergentes et cv vers l≠0), intersections de sous-ev, ev engendré Vect(). $(x_i) \text{ libre }\Longrightarrow (y\in \text{ Vect}(x_i) \iff (y, x_1,...,x_n)$ liée). Base=libre + génératrice, coordonnées dans une base, Lemme de Steinitz.
  • Jeudi 13/2: Analyse DL des fonctions usuelles, $\exp, \cos, \sin, 1/(1\pm x), \arctan, \ln(1\pm x), (1+x)^\alpha$. Équations différentielles linéaires. Réelles d'ordre 1. Interprétation graphique de y'=f(x,y) Exemples en Geogebra, importance de l'exemple y'=y, équation homogène, structure d'ev des solutions, variation de la constante et solution générale. Exemples.
  • Lundi 17/2: Algèbre Dimension d'un ev, d'un sous-ev. familles libre ⊆ génératrice ⇒ ∃ base, libre ⊆ base ⊆ génératrice. Théorème de la base incomplète. Deux bases de l'ev des suites $u_{n+1}=a u_n+b u_{n-1}$ (on retrouvera $X^2-aX-b=0$ et ses racines jeudi 27/2 avec les équa-diff du 2nd ordre).
  • Jeudi 20/2: Analyse QCM de 15 minutes en amphi! 14h-14h15 Entraînement: DL1 DL2 DL3 Équations différentielles linéaires réelles d'ordre 2. Interprétation matricielle d'une réduction à l'ordre 1 (sans entrer dans aucun détail technique). Portrait de phase d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, reconnaissance du graphe des solutions à partir de leur trajectoire dans le portrait de phase.
  • Lundi 24/2: Algèbre Sommes de sous-espaces, somme directe, supplémentaire, existence de supplémentaire, formule de Grassmann.
  • Jeudi 27/2: Analyse QCM optionnel de 15 minutes en amphi! 13h45-14h Le pendule pesant et sa linéarisation: linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, trois types de solutions suivant les racines réelles, double ou complexes conjuguées de l'équation caractéristique.
  • Lundi 9/3: Algèbre
  • Jeudi 12/3: Analyse
  • Lundi 16/3: Algèbre? (Louis Dupaigne)
  • Jeudi 19/3: Analyse
  • Lundi 23/3: Algèbre
  • Jeudi 26/3: Analyse
  • Lundi 30/3: Algèbre
  • Jeudi 2/4: Analyse
  • Lundi 6/4: Algèbre
  • Jeudi 9/4: Analyse
  • Jeudi 16/4: Analyse? (François Lê)
  • Lundi 20/4: Algèbre
  • Jeudi 23/4: Analyse
  • Lundi 4/5: Algèbre?
  • Jeudi 7/5: Analyse?

Travaux dirigés

Les exercices avec des (*) doivent être tentés à la maison et traités en TD.

Feuilles d'exercices :

Avancement des TD

Groupe P1 - François LÊ lundi 9h45-13h + mercredi 9h45-13h.

  • 20/01 : feuille 1, exercices 1-6.
  • 22/01 : feuille 1, exercices 7-8, 10-11, 13, 17.
  • 27/01 : feuille 1, exercices 18, 19, 23, 25 ; feuille 2, exercices 1-3.
  • 29/01 : feuille 2, exercices 4-7, 14-15.
  • 03/02 : feuille 2, exercices 8-10, 15 en colonnes + image, 17.2, réponses données pour 19.
  • 05/02 : feuille 2, exercices 11-13, 16, 17.1, 20 ; feuille 3, exercice 1.
  • 10/02 : feuille 3, exercices 2, 3, 10(a-f).
  • 12/02 : feuille 3, exercices 4-9.
  • 17/02 : feuille 3, exercices 11(a-d), 13 ; feuille 4, exercice 1.
  • 19/02 : feuille 3, exercices 14(1-3, 7), 15 ; feuille 4, exercice 2.
  • 24/02 : feuille 3, exercices 11(g-h), 16 ; feuille 4, exercices 3-7.

Groupe P2 - Louis DUPAIGNE lundi 9h45-13h + mercredi 9h45-13h.

  • lundi 20/1 feuille 1 exercices 1, 3, 4, 5, 6, 10(1)
  • mercredi 22/1 feuille 1 exercices 7, 10(2-3), 13, 17, 18, 19(1-5), 23. Préparer les exercices 2, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 19(6-7), 20, 21, 22, 24, 25 pour lundi.
  • lundi 27/1 feuille 1 exercices 8, 25. Feuille 2, exercices 1, 3, 4,5. A finir pour mercredi: exercices 2, 4(1), 6.
  • mercredi 29/1 feuille 2, exercices 6, 7, 15(1)+noyau&image, 17(1) Pour lundi, ex 12+finir 7&15&17.
  • lundi 3/2
  • mercredi 5/2 Christian Mercat feuille 3, exercices 1-3.
  • lundi 10/2 feuille 3, exercices 7, 8(1-3), 9. A faire pour mercredi: exercices 8(4-9), 10(a-f), 11(a-c, g-h)
  • mercredi 12/2 feuille 3, exercices 4, 5, 8(4-6), 10(d-f), 11(a-c,g), 13, 15(1-2).
  • lundi 17/2 feuille 3, exercice 14(3), feuille 4, exercices 1, 6, 8(1.a-b)
  • mercredi 19/2 révisions sur les DL + feuille 4, exercices 2, 3, début du 4
  • lundi 24/2 Thomas Strobl feuille 4, 8.2, 11, 12, 15, 16.1, 16.2 et 7.1.

Groupe P3 - Xinxin CHEN lundi 9h45-13h + mercredi 9h45-13h.

  • lundi 20/1 : feuille 1, exercices 1, 2, 4, 5, 10
  • mercredi 22/1: feuille 1, exercices 9, 11, 13, 14, 17, 18
  • lundi 27/1: feuille 1, exercices 19,23,25. feuille 2, exercices 1, 2, 3(1), 4, 5
  • mercredi 29/1: feuille 2, exercices 7-10, 12, 14, 19(noyau), 15
  • lundi 3/2: feuille 2, exercices 15(noyau), 17, 18, 13, 6
  • mercredi 5/2 exceptionnellement mardi 4/2 14h-17h15!! : feuille 2, exercice 16. feuille 3, exercices 1, 2(1-2, 5-6)
  • lundi 10/2: feuille 3, exercices 3, 10 (a-f), 4(1)
  • Mercredi 12/2: feuille 3, exercices 5-9, 11(a-d,g,h).
  • lundi 17/2: feuille 3, 12-14(1-3,7), 15
  • mercredi 19/2: feuille 3, exercice 16; feuille 4, exercices 1-3.

Groupe P4 - Pierre-Damien THIZY mercredi 9h45-13h + vendredi 14h-17h15.

  • 17/1 : feuille 1, exercices 1-6, 10.1.
  • 22/1 : feuille 1, exercices 10 (2-3), 11, 13, 14, 17, 23. Préparer 25 pour vendredi.
  • 24/1 : feuille 1, exercices 19 et 25. Feuille 2, exercices 1, 2, 15 (A+noyau) et 17 (1+lien avec noyau/image).
  • 29/1 : feuille 1, exercice 18. Feuille 2, exercices 3-5, 7, 8. Préparer 6 pour vendredi.
  • 31/1 : feuille 2, exercices 9-13, 15 (2), 16 (1,2,4).
  • 06/2 : feuille 2, exercice 19 et 18 (2) à préparer. Feuille 3 exercices 1-3, 10 (a-b).
  • 07/2 : feuille 3, exercices 5-9, 10(c-h), 11, 14 (1-2).
  • 12/2 : retour sur DS1. Feuille 3, exercices 12 et 14 (3). Feuille 4, exercices 1 (1-3).
  • 14/2 : feuille 3, exercices 13, 14 (4-6), 15 et 16. Feuille 4, exercices 1 (4-10)-4 (1-2b).
  • 19/2 : feuille 4, exercices 4 (d-e), 4 bis, 5, 7, 10 (1).
  • 21/2 : feuille 4, exercices 6, 8, 10, 11, 14, 16. Exercice 9 à préparer.

Devoirs surveillés

Chaque DS porte sur l'intégralité du cours, algèbre et analyse, depuis le début du semestre, avec un accent sur les trois semaines précédentes.

Les mercredis 5/2, 26/2, 25/3, 22/4 de 16h15 à 17h45 (plus tiers-temps).

  • Mercredi 5/2 : le sujet et son corrigé.
  • Mercredi 26/2 (Louis Dupaigne et Pierre-Damien Thizy) de 16h15 à 17h45
  • Mercredi 25/3 (Xinxin Chen et Louis Dupaigne) de 16h15 à 17h45
  • Mercredi 22/4 (Pierre-Damien Thizy et François Lê) de 16h15 à 17h45

La note finale de la partie DS sera la moyenne des 3 meilleures notes et compte pour 30% de la note finale.

Le groupe P1 aura de surcroit des DS les mercredis 12/2, 11/3, 8/4 et 6/5, de 16h15 à 17h45 (plus tiers-temps).

  • Mercredi 12/2 de 16h15 à 17h45
  • Mercredi 11/3 de 16h15 à 17h45
  • Mercredi 8/4 de 16h15 à 17h45
  • Mercredi 6/5 de 16h15 à 17h45

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