1. cours ¹⁾ : les mardis de 7h45 à 9h45 et mercredis de 10h à midi
2. TD ²⁾ : les mercredis de 14h à 17h15 et les jeudis de 14h à 16h30 sauf pour le groupe A : les mercredis de 14h à 18h15 et les vendredis de 17h30 à 19h.
3. ÉS ³⁾ : 1 groupe les mardis de 10h à midi et un autre groupe les mercredis de 7h45 à 9h45

Calendrier prévisionnel des interrogations:

contrôles de 30 minutes au début du TD (QCM) les mercredis 6/2, 6/3, 20/3, 3/4, 24/4 et le jeudi 2/5 (à confirmer) ;
contrôle partiel de 2h pendant le créneau d'ÉS le mercredi 13/3 ;

Examen partiel : MERCREDI 13 MARS DE 7H45 À 9h45

examen final : la semaine du 13/5.

Examens partiels de 2017 (durée 1h) :

• partiel3 (fonctions trigonométriques réciproques, dl, primitives)

• partiel2bis (espaces vectoriels, réels, fractions rationnelles)

• partiel2 (espaces vectoriels, réels, fractions rationnelles)

• partiel (espaces vectoriels, matrices)

• partiel1bis (espaces vectoriels, matrices)

• partiel1 (espaces vectoriels, matrices)

Examen partiel de 2018 (1h30) : partiel2018 (espaces vectoriels, matrices, dl) version corrigée : partiel2018c

note finale = 0,3 x (moyenne des QCM) + 0,3 x max (examen partiel, examen final) + 0,4 x examen final

programme du semestre

programme du semestre précédent

Sur les espaces vectoriels et les développements limités

Sur les applications linéaires et les formules de Taylor-Lagrange

Sur les représentations matricielles des appli linéaires et sur les intégrales

Sur les fractions rationnelles et les primitives : correction

Sur les équations différentielles

I.– Calcul Matriciel II.– Fonctions circulaires réciproques III.– Espaces vectoriels IV.– Développements limités V.– Applications linéaires VI.– Formules de Taylor VII.– Représentations matricielles des applications linéaires VIII.– Intégration IX.– Fractions rationnelles X.– Primitives XI.– Équations différentielles XII.– R

I.– Calcul matriciel 1) matrices (définition), 2) opérations : addition, multiplication, matrice identité 3) propriétés : associativité, (A+B)ⁿ si AB=BA, …

4) Transposée : ^t(AB)=^tB^tA, définitions des matrices symétriques et antisymétriques 5) Trace : Tr(AB)= Tr(BA) 6) Déterminants : 2×2, 3×3 Règle de Sarrus, développement par rapport à une ligne ou à une colonne 7) Rang d'une matrice : définition du rang des lignes en transformant une matrice en matrice échelonnée par des opérations élémentaires sur les lignes 8) Inverse d'une matrice : définition, formule dans le cas 2×2 et 3×3

8) inverse d'une matrice : calcul en faisant des opérations élémentaires sur les lignes 9) résolution des systèmes linéaires

II.– Fonctions trigonométriques réciproques 1) Rappels sur sin, cos, tan, valeurs à connaître en 0, π/6, π/4, π/3, π/2 2) définition de Arcsin, Arcsin' x = 1/√(1-x²) 3) définition de Arccos, Arccos' x = -1/√(1-x²)

4) Rappels sur la fonction tangente, définition de Arctan, Arctan' x = 1/(1+x²), graphe, formules du type Arctan 1 + Arctan 2 + Arctan 3 = π.

III.– Espaces vectoriels 1) K= Q, R ou C , structure d'espace vectoriel de Kⁿ 2) sous-espaces vectoriels de Kⁿ : définition, définition du sous-ev engendré par un nombre fini de vecteurs, opérations sur les sous-espaces : E∩F et E+F 3) familles libres et génératrices, famille liée : définitions, exemples

4) bases, théorème : existence des bases et unicité du cardinal, définition de la dimension, base = famille libre maximale = famille génératrice minimale, si F ≤ E, alors dim F ≤ dim E , égalité ⇔ F =E, dim (E+F ) = dim E + dim F - dim(E∩F)

théorème de la base incomplète, 5) pour une matrice, rang des lignes = rang des colonnes 6) sommes directes 7) espaces vectoriels abstraits, définition

IV.– DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 1) Règle de L'Hospital : si lim f = lim g = 0, si lim f'/g' existe, alors lim f/g = lim f'/g' (admis) 2) Notations de Landau : f=O(g), f= o(g), f∼ g 3) définition des dl, unicité des coefficients 4) Formule de Taylor-young, dl à connaître (en 0) : exp(x), cos(x), sin (x), (1+x)^a où a ∈ R.

dl à connaître en 0 : ln(1+x), 5) opérations sur les dl : somme, produit, quotient (dénominateur avec un terme constant non nul), 6) intégration des dl, 7) composition des dl, 8) dl ailleurs qu'en 0, 9) exemple de développement asymptotique (à l'∞)

Chapitre V. Applications linéaires 1) définition, exemples, f linéaire définie par image d'une base 2) propriétés : f, g linéaires ⇒ f o g linéaire, f linéaire bijective ⇒ f^-1 linéaire, (f isomorphisme : E → F) ⇔ (f envoie une base de E sur une base de F) 4) Noyau, image, rang, théorème du rang

Chapitre VI. Formules de Taylor 1) Dérivées n-ièmes, rappel, formule de Leibniz, classe Cⁿ 2) Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, théorème des accroissements finis généralisés, application : règle de L'Hospital 3) Formule de Taylor Lagrange, applications : inégalités …

3) applications de Taylor Lagrange : expression de e^x, ln(1+x), sin (x), cos(x), arctan x comme limites de leurs dl en 0 ; fonctions convexes au-dessus de leurs tangentes 4) Formule de Stirling : n! ∼ k √ n (n/e)ⁿ

Chapitre VII. Matrices des applications linéaires 1) Rappel si A matrice alors X → AX est linéaire 2) Matrice d'une application linéaire dans des bases : notation si L : E → F est linéaire, si e base de E et f base de F, [L]_f,e est la matrice de L dans les bases f,e. Exemples

3) [L']_e“e'[L]_e'e = [L'o L]_e''e, formules de changement de bases, exemples, inverse des matrices de Vandermonde, matrices équivalentes, rang d'une matrice = rang de l'application linéaire associée, matrices semblbles, exemples

Chapitre VIII. Intégration

1) fonctions en escaliers, intégrales des fonctions en escaliers 2) fonctions Riemann-intégrables : définition ; digression : définition de la borne supérieure, définition de l'intégrale (sup ∫e où e est une fonction en escaliers ≤ f)

3) propriétés de l'intégrale : positivité, linéarité, |∫f|≤ ∫|f| 4) une fonction continue est intégrable, intégrale de f' 5) intégration par parties : exemples, intégrales de Wallis, formule de Taylor avec reste intégral

6) intégration par changement de variables 7) sommes de Riemann

sommes de Riemann (suite et fin) chapitre IX. Fractions rationnelles 1) Rappels sur les polynômes, polynômes irréductibles sur R et sur C 2) Décomposition en éléments simples : théorème

3) Décomposition en éléments simples : exemples de calculs ; applications (intégration) Chapitre X. Primitives 1) Définition, notations 2) Primitives usuelles à connaître par coeur : ∫e^x dx = e^x, ∫x^adx = x^a+1 /(a+1), ∫1/x dx = ln x, ∫ sin x dx = -cos x, ∫cos x dx = sin x, …

primitives usuelles à connaître (suite) : ∫1/√(a²-x²) dx = arcsin(x/a) ∫1/√(a²+x²)dx = ln(x+√(a²+x²)), ∫1/(a²+x²)dx = 1/a arctan(x/a) ; si F est une primitive de f, alors F(u) est une primitive de f(u)u', 3) primitive des fractions rationnelles (primitive des éléments simples), exemples, 4) fractions rationnelles en e^x, 5) fractions rationnelles en sin, cos : t=tan(x/2) ou règle de Bioche

6) fractions rationnelles en ⁿ√(ax+b)/cx+d), 7) intégrales abéliennes

CHAPITRE XI. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 1) Exemples 2) Équations différentielles linéaires d'ordre 1 : homogènes et avec second membre : méthode de «variation de la constante»

3) Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants : cas homogène, existence et unicité des solutions avec les conditions initiales, formules.

cas inhomogène : second membre de la forme P(x), ou P(x)e^rx, ou P(x)e^rx(Acos(sx) + Bsin (sx)) avec P polynôme, r,s,A,B réels ; second membre quelconque : méthode de variation des constantes

Chapitre XII. LES NOMBRES RÉELS 1) Borne supérieure, suites de Cauchy

2) Toute suite réelle de Cauchy converge 3) construction de R à partir de Q : a) par les coupures de Dedekind b) par les suites rationnelles de Cauchy 4) Théorème des valeirs intermédiaires 5) suites extraites 6) image continue d'un segment = segment 7) Développement décimal d'un réel.

FIN DU COURS