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Calendrier prévisionnel des interrogations:
contrôles de 30 minutes au début du TD (QCM) les mercredis 6/2, 27/2, 20/3, 3/4, 24/4 et le jeudi 2/5 (à confirmer) ; contrôle partiel de 2h pendant le créneau d'ÉS le mardi 5/3 ;
examen final : la semaine du 13/5.
note finale = 0,3 x (moyenne des QCM) + 0,3 x max (examen partiel, examen final) + 0,4 x examen final
I.– Calcul Matriciel II.– Fonctions circulaires réciproques III.– Espaces vectoriels IV.– Développements limités V.– Applications linéaires VI.– Formules de Taylor VII.– Représentations matricielles des applications linéaires VIII.– Intégration IX.– Fractions rationnelles X.– Primitives XI.– Équations différentielles XII.– R
I.– Calcul matriciel 1) matrices (définition), 2) opérations : addition, multiplication, matrice identité 3) propriétés : associativité, (A+B)n si AB=BA, …
4) Transposée : t(AB)=tBtA, définitions des matrices symétriques et antisymétriques 5) Trace : Tr(AB)= Tr(BA) 6) Déterminants : 2×2, 3×3 Règle de Sarrus, développement par rapport à une ligne ou à une colonne 7) Rang d'une matrice : définition du rang des lignes en transformant une matrice en matrice échelonnée par des opérations élémentaires sur les lignes 8) Inverse d'une matrice : définition, formule dans le cas 2×2 et 3×3
8) inverse d'une matrice : calcul en faisant des opérations élémentaires sur les lignes 9) résolution des systèmes linéaires
II.– Fonctions trigonométriques réciproques 1) Rappels sur sin, cos, tan, valeurs à connaître en 0, π/6, π/4, π/3, π/2 2) définition de Arcsin, Arcsin' x = 1/√(1-x²) 3) définition de Arccos, Arccos' x = -1/√(1-x²)
4) Rappels sur la fonction tangente, définition de Arctan, Arctan' x = 1/(1+x²), graphe, formules du type Arctan 1 + Arctan 2 + Arctan 3 = π.
III.– Espaces vectoriels 1) K= Q, R ou C , structure d'espace vectoriel de Kn 2) sous-espaces vectoriels de Kn : définition, définition du sous-ev engendré par un nombre fini de vecteurs, opérations sur les sous-espaces : E∩F et E+F 3) familles libres et génératrices, famille liée : définitions, exemples
4) bases, théorème : existence des bases et unicité du cardinal, définition de la dimension, base = famille libre maximale = famille génératrice minimale, si F ≤ E, alors dim F ≤ dim E , égalité ⇔ F =E, dim (E+F ) = dim E + dim F - dim(E∩F)
théorème de la base incomplète, 5) pour une matrice, rang des lignes = rang des colonnes 6) sommes directes 7) espaces vectoriels abstraits, définition
IV.– DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 1) Règle de L'Hospital : si lim f = lim g = 0, si lim f'/g' existe, alors lim f/g = lim f'/g' (admis) 2) Notations de Landau : f=O(g), f= o(g), f∼ g 3) définition des dl, unicité des coefficients 4) Formule de Taylor-young, dl à connaître (en 0) : exp(x), cos(x), sin (x), (1+x)a où a ∈ R.