Rappel sur quelques principes de base : Principe de multiplication, principe d'addition, principe des bergers, principe d'inclusion-exclusion, principe de tiroir ou pigeonniers. Permutations, r-arrangements parmi n éléments, combinaisons, coefficients binomiaux et coefficients multinomiaux. Formule du binôme (et multinôme) de Newton. Formule de Chu-Vandermonde sous forme de série hypergéométrique 2F1. Exemples de réécriture des identités de binomiaux en 2F1.

Anneaux de séries formelles K[X]] (comme l'extension de polynômes K[X]). Caractérisation d'éléments inversibles. L'identité (1-X) (1+X+X^2+…)=1. Quelques séries remarquables. Fonctions génératrices ordinaires, fonctions génératrices exponentielles d'une suites. Nombres de Fibonacci: calcul de la F.G.O. et en déduire une formule explicite.

Dérivée de séries formelles. Caractérisation des séries satisfaisant f'=0; f'=f. Le correspondances entre opérations de séries et leur séries génératrices ordinaires (resp. exponentielles). Exemples de calcul pour extraire un coefficient de séries. Nombres de Catalan: interprétations combinatoires et calcul de sérié génératrice (à terminer).

Calcul de série génératrice de nombres de Catalan et en tire une expression explicite. Une preuve combinatoire l’expression binomial(2n, n)/(n+1) en utilisant le principe de réflection d’André dans le modèle de chemins de Dyck. Fonction génératrices rationnelles: Equivalence entre récurrence linéaire à coefficients constants et séries génératrices rationnelles. Le produit Hadamard de deux séries rationnelles est rationnel.

1. L'espace des états (univers) Ω est l'ensemble des résultats possibles de l'expérience. Notion d'événements et Tribu A. Définition de probabililté P: A –>[0,1]. Espace probabilisé (Ω, A, P). 2. Construction d'espaces probabilisés 2.1 Espace des états fini Probabililité uniforme. Version probabiliste du principe d'inclusion-exclusion. Dénombrement, modèle d'urne avec remise et sans remise: loi binomiale et loi hypergéométrique. 2.2 Espace des états infini dénombrable 2.3 Espace des états infini non-dénombrable.

1. Probabilité conditionnelle. Définition. Exemples. Formule des probabilités totales. Formule de Bayes. Exemples d'application.

3. Arbre de probabilité. Applications : calcul des probabilités et probabilités conditionnelles. 4. Indépendance des événements.

Définition. Fonction de probabilité. Quelques lois usuelles: Loi binomiale, loi de Poisson, loi géométrique, loi binomiale négative, loi hypergéométrique. Théorème: Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson.

Fonctions de répartition. Espérance mathématique. Linéarité de l'espérance. Théorème de transfert. Variable carré intégrable. Variance et écart-type. Inégalité de Markov et Bienaymé-Tchebychev.

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