Notes du cours (dernière mise à jour le 3 novembre 2021)
Avancement:
9 septembre : Chapitre I, sections 1-3 (presque). Groupes, exemples, isomorphismes de groupes, groupes monogènes et l'ordre d'un élément d'un groupe.
16 septembre : Chapitre I, début de la section 4. Groupe de permutation d'un ensemble X, de {1, 2, …, n}. Support d'une permutation, produit de permutations à supports 2-à-2 disjoints. Cycles. début de l'argument pour la décomposition en cycles disjoints.
23 septembre : Chapitre I, Décomposition en cycles disjoints. En exo, la formule du conjugué d'un cycle (sans dire conjugué). Le groupe d'éléments inversibles d'un monoïde, exemples, cas particulier d'un d'un anneaux [NOTATION : ^\times, et non étoile]. Chapitre II: Sous groupe d'un groupe. Critères de clôture. GL, SL, O, SO. Intersection de sous-groupes. Sous-groupe d'un sous-groupe. Exo: les automorphismes forment un sous-groupe de S_G.
30 septembre : Chapitre II, Exemples de sous-groupes : centralisateur, centre, normalisateur. Sous groupe engendré. Classes à gauche et à droite modulo un sous-groupe, indice.
7 octobre : Théorème de Lagrange. Morphisme de groupes. Noyau et image sont des sous-groupes, tout sous-groupe est une image. Vocabulaire : homo, endo, épi, mono, iso, auto. Sous-groupes distingués, le noyau est toujours distingué. Groupe quotient.
14 octobre : Le morphisme quotient. Tout sous-groupe distingué est un noyau. Premier théorème d'isomorphie. Exemples : les groupes monogènes revisités, le quotient GL/SL. Le 2e Théorème d'isomorphie (preuve incomplète).
21 octobre : fin du 2e thm. Énoncé du 3e. Chapitre IV : Actions. Définition d'une action (à gauche). Exemples (permutations, GL(n,R), …). L'action à gauche et par conjugaison. Action par translation à droite. Orbite, partition en orbites. Stabilisateur. Action transitive, action de G sur G/H. |O_x| = [G:G_x].
18 novembre : formule aux classes : |X| = somme de [G:G_{x_i}], lorsque {x_i : i} forme un système de représentants pour les orbites. Fix(g) , formule de Burnside (preuve en TD). Point fixe d'une action. Restriction à un sous-groupe de G , à une partie de X . Produit direct : rappels, projections canoniques et leur noyaux, injections canoniques. Produit direct interne. Produit semi-direct interne. Exemples : groupe diédral, groupe des transformations affines d'un espace vectoriel. La loi dans un produit semi-direct interne. Produit semi-direct externe, donné par un morphisme de K vers Aut(H) . Lien avec le produit semi-direct interne en exo.
25 novembre : Théorèmes de Sylow. Lemme combinatoire technique sur la congruence modulo p . Définition d'un p-Sylow. 1er Théorème + preuve. Énoncé du 2e et du 3e théorèmes.
2 décembre : preuves du 2e et du 3e théorèmes. Application : groupes d'ordres pq , où p < q et p ne divise pas q .
