FONDAMENTAUX DE MATHÉMATIQUES 1 - PARTIE B

Cours “Fondamentaux de Mathématiques 1 - partie B” en Licence 1 adaptée, année 2021-2022.

• CM: Francesco Fanelli (email, page personnelle)

• TD: Vianney Brouard (email)

Le cours se compose de trois chapitres:

• les polynômes sur R et C: définition; somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires; divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles; fonctions polynomiales: racines, dérivation, racines multiples, relations coefficients-racines, théorème de d’Alembert-Gauss;
• limites et continuité des fonctions: limites, limites à gauche et à droite, caractérisation séquentielle; opérations, passage à la limite dans des inégalités; théorème d’encadrement, théorème de la limite monotone; continuité, continuité à gauche, à droite, prolongement par continuité, opérations; théorème des valeurs intermédiaires et de la bijection, fonction continue sur un segment;
• dérivabilité: dérivabilité, dérivabilité à gauche, à droite, interprétation géométrique, opérations; extremum local et point critique; théorème de Rolle et des accroissements finis.

On recommande le livre Cours de Mathématiques (de A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron).

L'UE se compose de 20h de CM et 40h de TD.

Du lundi 13/09 au jeudi 30/09, l'horaire est le suivant:

• le lundi de 15h45 à 17h15;
• le jeudi de 14h00 à 17h15.

À partir de lundi 04/10, l'horaire change de la façon suivante:

• le lundi de 14h00 à 17h15;
• le jeudi de 14h00 à 17h15.

ATTENTION: pas de cours le jeudi 02/12.

Il y aura trois contrôles continus de 1h, et un contrôle terminal de 2h.

• Contrôles continus: les jeudis 21/10, 25/11 et 13/12.
• Contrôle terminal: le jeudi 16/12.
• Deuxième chance: le jeudi 27/01/2022 à 14h00.

Chaque CC compte pour le 20% de la note finale, le CT pour le 40%.

1. |Les polynômes
2. Limites et continuité
3. Dérivabilité

• Lundi 13/09: CM → propriétés d'un corps K; polynômes à coefficients dans K: définition, opérations. Degré d'un polynôme; degré d'une somme (avec preuve) et d'un produit (avec preuve). Intégrité de K[X] (avec preuve).
• Jeudi 16/09: CM → éléments inversibles dans K[X]. Composition de deux polynômes. Division euclidienne: définition, théorème (preuve de l'unicité). Fonctions polynomiales, racines d'un polynôme, théorème reliant la notion de racine à la divisibilité.
• Lundi 20/09: CM → racines multiples. Polynôme dérivé et première propriétés.
• Jeudi 23/09: TD → Exercice 21.5 du livre, Exercices 9.1, 9.3 de la feuille de TD
  CM → caractérisation des racines multiples. Polynômes scindés; factorisation dans C[X]; polynômes conjugués; factorisation dans R[X].
• Lundi 27/09: TD → Exercice 9.1, 9.4 de la feuille de TD, Exercice 21.6 du livre
• Jeudi 30/09: CM → Polynômes irréductibles: définitions, propriétés, caractérisation dans C[X] et R[X]. Diviseurs communs à deux polynômes.
  TD → Exercices 21.6, 21.13, 21.26 du livre.
• Lundi 04/10: CM → Théorème-définition de PGCD, Théorème de Bezout, exemple, remarque fondamentale. Polynômes premiers entre eux; Proposition de Bezout, Lemme de Gauss et conséquences. Retour sur les polynômes irréductibles.
  TD → Exercice 21.26 du livre, Exercices 9.2, 9.6, 9.7 de la feuille de TD.
• Jeudi 07/10: TD → Exercices 9.5, 9.8, 9.9, 9.11, 9.12, 9.14, 9.15 de la feuille de TD.
• Lundi 11/10: TD → Exercice 21.17 du livre, Exercices 9.10, 9.16 de la feuille de TD.
• Jeudi 14/10: CM → L'ensemble F(I,R) et opérations; fonctions bornées, extrema, extrema locaux. Monotonie; parité; périodicité. Voisinage d'un point, adhérence d'un ensemble.
• Lundi 18/10: TD → Exercices 9.10, 9.16 et 9.17 de la feuille de TD, Correction CC1 2020, réponses aux questions sur tous les exercices sur les polynômes traités.
• Jeudi 21/10: CM → Définition(s) de limite; unicité de la limite; limite finie –> localement bornée; transformation de limite en inégalité; théorème de majoration. Opérations algébriques sur les limites. Limites à gauche et à droite. Définition de fonction continue; continuité à gauche, à droite; continuité sur un intervalle.
  CC1
• Jeudi 04/11: TD → Correction CC1, Exemples/contres exemples formes indéterminées limites, Exercices 11.1 et 11.2 du livre. Exercice 2.2 de la feuille de TD.
• Lundi 08/11: TD → Exercices 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 de la feuille de TD.
• Lundi 15/11: CM → théorèmes généraux sur les fonctions continues; théorème de passage à la limite dans les inégalités; théorème des gendarmes; théorème de composition des limites; théorème de la limite séquentielle et caractérisation séquentielle de la continuité; théorème de la limite monotone. Propriétés globales des fonctions continues: opérations sur les fonctions continues; TVI, TVI deuxième forme; théorème du maximum (théorème de Weierstrass); théorème de la bijection.
• Jeudi 18/11: TD → Exercices 2.7, 2.8, 2.9, 2.11, 2.12, 2.101 de la feuille de TD.
• Lundi 22/11: TD → Corrigé CC2 2020, Exercices 2.5 Q3), 2-102, 2-103, 2-104, 2-109 de la feuille de TD.
• Jeudi 25/11: CM → Taux d'accroissement; définition de fonction dérivable au point x_0, sur un intervalle; exemples. Interprétation de la dérivée; développement limité à l'ordre 1. Opérations sur les dérivées.
  CC2
• Lundi 29/11: CM → Dérivation des fonctions composées; dérivation de la bijection réciproque; exemples. Étude globale des fonctions dérivables: extrema rélatifs, Théorème de Rolle, TAF, IAF; caractérisation de la monotonie d'une fonction par le signe de sa dérivée; condition suffisante de dérivabilité en un point. Dérivée d'ordre supérieure: définition.
• Jeudi 02/12: PAS DE COURS!
• Lundi 06/12: TD → Correction CC2, Exercices 3.1, 3.2, 3.3 1), 3.7), 3.9) de la feuille de TD.
• Jeudi 09/12: TD →Exercices 3.3 2), 3.5), 3.11), 3.12) de la feuille de TD, Exercice 12.30) du livre.
• Lundi 13/12: TD →Réponses aux questions, Exercice 12.29) du livre, révision polynômes,
  CC3, correction rapide CC3.
• Jeudi 16/12: CT