FONDAMENTAUX DE MATHÉMATIQUES 1 - PARTIE B

Cours “Fondamentaux de Mathématiques 1 - partie B” de Francesco Fanelli (email, page personnelle) en Licence 1 adaptée, année 2020-2021.

Le cours se compose de trois chapitres:

• les polynômes sur R et C: définition; somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires; divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles; fonctions polynomiales: racines, dérivation, racines multiples, relations coefficients-racines, théorème de d’Alembert-Gauss;
• limites et continuité des fonctions: limites, limites à gauche et à droite, caractérisation séquentielle; opérations, passage à la limite dans des inégalités; théorème d’encadrement, théorème de la limite monotone; continuité, continuité à gauche, à droite, prolongement par continuité, opérations; théorème des valeurs intermédiaires et de la bijection, fonction continue sur un segment;
• dérivabilité: dérivabilité, dérivabilité à gauche, à droite, interprétation géométrique, opérations; extremum local et point critique; théorème de Rolle et des accroissements finis.

On recommande le livre Cours de Mathématiques (de A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron).

L'UE se compose de 20h de CM et 40h de TD. Les cours jusqu'au vendredi 23/10 ont lieu:

• le lundi de 15h45 à 17h15;
• le jeudi de 14h00 à 17h15.

À partir du lundi 02/11, les cours ont lieu:

• le lundi de 14h00 à 17h15;
• le jeudi de 14h00 à 17h15.

ATTENTION: pas de cours les jeudis 26/11 et 10/12.

Il y aura deux contrôles continus de 1h, et un contrôle terminal de 2h.

• Contrôles continus: les lundis 19/10, 16/11 et 07/12.
• Contrôle terminale: le lundi 14/12.

Chaque CC compte pour le 20% de la note finale, le CT pour le 40%.

1. Les polynômes
2. Limites et continuité
3. Dérivabilité

• Lundi 07/09: CM → propriétés d'un corps K; polynômes à coefficients dans K: définition, opérations. Degré d'un polynôme; degré d'une somme (avec preuve) et d'un produit.
• Jeudi 10/09: CM → degré d'un produit (avec preuve); composition de polynômes et degré. Intégrité de K[X] et éléments inversibles dans K[X]. Divisibilité et premières propriétés. TD → exercices 21.5 et 21.6 du livre.
• Lundi 14/09: CM → rappels. Théorème de division euclidienne entre polynômes, preuve de l'unicité; exemples de division euclidienne. Définition de fonction polynomiale.
• Jeudi 17/09: TD → exerices 21.6 du livre. Polynômes dérivés. Exercices 9.1, 9.3, 9.4 de la fiche de TD; exercice 21.13 du livre. CM → racines d'un polynôme; rélation racine-divisibilité.
• Lundi 21/09: CM → racines, racines multiples et caractérisation de leur ordre (par divisibilité, par les polynômes dérivés). Définition de polynôme scindé.
• Jeudi 24/09: TD → exercices 21.26, 21.27 du livre; exercices 9.2, 9.6, 9.7 de la fiche de TD.
• Lundi 28/09: CM → Factorisation dans C[X], dans R[X]; polynômes irréductibles. Diviseurs communs à deux polynômes et définition de PGCD.
• Jeudi 01/10: CM → Théorème d'Euclide et de Bezout; polynômes premiers entre eux; Lemme de Gauss. PPCM. Factorisation en polynômes irréductibles dans K[X]. TD → exercice 9.9 de la fiche de TD; exercice 21.35 du livre.
• Lundi 05/10: TD (4.5 h) → exercices 21.39, 21.40 et 21.17 du livre; exercices 9.12, 9.15 et 9.20 de la feuille de TD. Rapples sur les nombres complexes et les racines n-ièmes de l'unité.
• Jeudi 08/10: pas de cours (3h faites le lundi 05/10).
• Lundi 12/10: TD → exercices 21.18 et 21.56 du livre; exercice 9.10 de la fiche de TD.
• Jeudi 15/10: TD → exercice 9.17 de la fiche de TD. CM → fonctions sur un intervalle: définitions et opérations algébriques; fonctions bornées; monotonie, parité, périodicité. Points adhérents, voisinages. Définition de limite; unicité de la limite.
• Lundi 19/10: CC1.
• Jeudi 21/10: CM → transformation d'une limite en inégalité; opérations algébriques sur les limites. Fonctions continues: définition; continuité à gauche/droite; prolongement par continuité. Passage à la limite dans les inégalités; théorème des gendarmes. Théorème de composition des limites; caractérisation séquentielle de la continuité. Théorème de la limite monotone. TD → Exercice 2.1 de la feuille de TD.
• Lundi 02/11: TD → exercices 11.1, 11.3, 11.4 du livre; exercice 2.2 de la feuille de TD.
• Jeudi 05/11: CM → Propriétés globales des fonctions continues: TVI (première forme et deuxième forme); fonctions continues sur un segment; théorème de la bijection continue. TD → exercices 11.5, 11.6, 11.7, 11.8 du livre; exercices 2.2 et 2.5 de la feuille de TD.
• Lundi 09/11: TD → exercice sur la non-existence d'une limite; exercices 2.106, 2.7 de la feuille de TD; exercices 11.42, 11.44, 11.55, 11.58 du livre.
• Jeudi 12/11: TD → exercices 2.6, 2.9 et 2.12 de la feuille de TD; exercices 11.43, 11.60 du livre.
• Lundi 16/11: CC2
• Jeudi 19/11: CM → Taux d'accroissement; définition de fonction dérivable au point x_0, sur un intervalle; exemples. Interprétation de la dérivée; développement limité à l'ordre 1. Opérations sur les dérivées, dérivation des fonctions composées; dérivation de la bijection réciproque; exemples.
• Lundi 23/11: CM → étude globale des fonctions dérivables: extrema rélatifs, Théorème de Rolle, TAF, IAF; caractérisation de la monotonie d'une fonction par le signe de sa dérivée. Condition suffisante de dérivabilité en un point. Dérivées d'ordre supérieure; dérivée seconde et convexité. TD → exercices 3.1, 3.2 et 3.3 de la feuille de TD.
• Jeudi 26/11: PAS de cours.
• Lundi 30/11: TD → exercices 3.4, 3.7, 3.8, 3.9, 3.11 et 3.12 de la feuille de TD.
• Jeudi 03/12: TD → exercices 12.48, 12.33, 12.36, 12.10, 12.29 du livre. Retour sur l'exercice 3.4 de la feuille de TD.
• Lundi 07/12: CC3
• Juedi 10/12: