Mathématiques 3 - Automne 2019

Intervenants

Cours (mercredi 10h00-12h00) : Abderezak Ould Houcine

Travaux dirigés (mercredi 14h-17h15) :

Groupe A : Abderezak Ould Houcine

Groupe B : Bluette Valat

Groupe C : Gaëlle Pallabot

Groupe D : Fabien Vignes-Tourneret

Groupe E : Thomas Strobl

Groupe F : Gadi Perets

Groupe G : Louis Dupaigne

Groupe H : Pascal Lainé

Avancement du cours

* Cours 1 (11 septembre) : Espaces vectoriels : définitions, propriétés, sous-espaces vectoriels, somme, somme directe, familles génératrices, familles libres, bases, dimension, théorème de la base incomplète (Transparents, Version compacte A4)

* Cours 2 (18 septembre) : Théorème de la base incomplète en dimension finie, coordonnées d'un vecteur, formule de Grassmann. Applications linéaires : définitions, propriétés, image et noyau, théorème du rang. Matrices : définitions et propriétés, opérations sur les matrices (somme, multiplication scalaire, produit), formule du binôme, matrice de passage, matrice d'une application linéaire (Transparents, Version compacte A4)

* Cours 3 (25 septembre) : Matrices inversibles. Déterminants : définitions, propriétés, déterminants et bases, déterminants et matrices inversibles, quelques propriétés des déterminants. Systèmes d'équations linéaires : introduction, définitions, propriétés, écriture matricielle, interprétation à l'aide d'une application linéaire, ensemble des solutions, existence des solutions, méthodes de résolutions : méthode du pivot de Gauss (Transparents, Version compacte A4)

* Cours 4 (2 octobre) : Application de la méthode de Gauss à l'inversion des matrices, systèmes de Cramer. Réduction des endomorphismes : introduction, définitions, propriétés, vecteurs propres, valeurs propres, sous-espaces propres, polynôme caractéristique, diagonalisation, théorème de Cayley-Hamilton ( Transparents, Version compacte A4)

* Cours 5 (9 octobre) : Espace vectoriel muni d’un produit scalaire : Introduction, produit scalaire (cas réel et complexe), propriétés géométriques : norme, distance, angle; orthogonalité, projection orthogonale, bases orthonormées, orthonormalisation de Gram-Schmidt ( Transparents, Version compacte A4)

* Cours 6 (16 octobre) : Diagonalisation des matrices symétriques et hermitiennes. Suites et séries numériques : suites numériques, définitions, convergence, opérations sur les suites, comparaison, suites arithmétiques, suites géométriques, suites monotones; séries numériques : définitions, séries géométriques, la série harmonique, séries de Riemann, opérations sur les séries, condition nécessaire de convergence, convergence absolue. Séries à termes positifs, critères de comparaison ( Transparents, Version compacte A4)

* Cours 7 (23 octobre) : Séries à termes positifs, critères de comparaison, règle de d'Alembert, règle de Cauchy, séries alternées, règle des séries alternées. Suites et séries de fonctions : suites de fonctions, définitions, exemples, convergence simple, convergence uniforme, convergence et continuité ( Transparents, Version compacte A4)

* Cours 8 (6 novembre) : Suites et séries de fonctions : convergence et continuité, intégration et dérivabilité. Séries de fonctions : convergence simple, uniforme, reste partiel, convergence normale, liens entre les différentes formes de convergence; Séries entières : définition, rayon de convergence, règle de Cauchy, règle de D'Alembert, propriétés fonctionnelles ( Transparents, Version compacte A4)

* Cours 9 (13 novembre) : Séries entières : exemple d'application aux équations différentielles, développement d'une fonction en série entière, série de Taylor-Maclaurin, condition suffisante de convergence, application aux équations différentielles. Séries de Fourier : Introduction, séries trigonométriques, périodicité, convergence, écriture complexe, calcul des coefficients; séries de Fourier : définition ( Transparents, Version compacte A4)

* Cours 10 (20 novembre) : Séries de Fourier : définition, Théorème de Dirichlet, périodicité et intégrales, parité et intégrales, applications définies sur un intervalle fermé et borné. Inégalité de Bessel et égalité de Parseval, interprétation géométrique et vectorielle ( Transparents, Version compacte A4)

* Cours 11 (27 novembre) : Notions sur les équations aux dérivées partielles : quelques rappels, équations des ondes, formule de D'Alembert, solutions à variables séparées, séries de Fourier, équation de Laplace, équation de Poisson, solutions à variables séparées, équation de la chaleur, exercice d'application des séries de Fourier à l'équation des ondes (Transparents, Version compacte A4)

* Cours 12 (4 décembre) : Révision (Exercices à préparer)(Corrigé)

Fiches de TD

Corrigé de quelques exercices

Parfaire ses connaissances

Pour parfaire ses connaissances en TMB et en Maths2, on peut consulter les deux pages (TMB, Maths2) d'Alessandra Frabetti.

Progarmme du cours

  1. Algèbre linéaire : Espaces vectoriels, Applications linéaires, Matrices, Déterminants, Systèmes linéaires, Réduction des endomorphismes, Espace vectoriel muni d'un produit scalaire : Diagonalisation des matrices symétriques et hermitiennes.
  2. Suites et séries numériques et de fonctions : Suites et séries numériques, Séries entières, Séries de Fourier.
  3. Notions sur les équations aux dérivées partielles : Equation de la corde vibrante avec conditions initiales et conditions aux bords (formule de d'Alembert), quelques aperçus sur d'autres équations linéaires (Laplace, Poisson, équation de la chaleur).

Livres recommandés

  • Claude Deschamps, André Warusfel. Mathématiques, tout-en-un, 1ère année MP, Dunod.
  • Claude Deschamps, André Warusfel. Mathématiques, tout-en-un, 2ème année MP, Dunod.

Contrôle des connaissances

  • CC1 le Mercredi 09/10 en TD (16h15-17h15), le CC porte sur tout ce qu'a été vu jusqu'aux systèmes linéaires pour les exercices et les questions de cours. Aucun document n'est autorisé. Poids : 20%. ( Sujet 1, Sujet 2) ( Corrigé sujet 1, Corrigé sujet 2)
  • CC2 le Mercredi 13/11 en TD (16h15-17h15), le CC porte sur les fiches 4 et 5 pour les exercices et pour les questions du cours : Réduction des endomorphismes, Espace vectoriel muni d’un produit scalaire, Diagonalisation des matrices symétriques et hermitiennes. Aucun document n'est autorisé. Poids : 20%. ( Sujet 1, Sujet 2) ( Corrigé sujet 1, Corrigé sujet 2)
  • CC3 le Mercredi 11/12 en TD (16h00-17h15), le CC porte sur la fiche 6, la fiche 7 (seulement les séries entières), fiche 8 et fiche 9. Pour les questions du cours, les mêmes thèmes : suites et séries numériques, séries entières, séries de Fourier. Aucun document n'est autorisé. Poids : 20%. ( Sujet 1, Sujet 2) ( Corrigé sujet 1, Corrigé sujet 2)
  • CCF le mercredi 08/01/2020 de 14h00-16h00. Le contrôle portera sur les fiches : 4,5,6,7 (seulement la partie sur les séries entières),8,9 et 10. Il n'y aura pas de question de cours. Aucun document n'est autorisé. Poids : 40%. ( Sujet, Corrigé)

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