Cette page contient des informations relatives à l'UE Fondamentaux des mathématiques I, groupe INFO (séquences 2 et 5).
Pour les autres séquences, voir ici.
Il est possible aussi de retrouver ces informations sur ma page personnelle dans la rubrique enseignement puis FDM1.

Le programme officiel de l'UE est disponible ici

l'UE se compose de 46h de cours magistraux, 64h de travaux dirigés et 24h d'études surveillées.
Les cours magistraux ont lieu le lundi après-midi de 14h à 16h et le vendredi matin de 7h45 à 9h45.
Les travaux dirigés ont lieu le jeudi matin de 9h45 à 13h et le vendredi après-midi de 14h à 17h15.
Les études surveillées (2h) sont organisées le vendredi matin de 10h à midi, juste après le cours.
Deux types d'études surveillées sont disponibles:
-Groupe Y: pour les étudiants n'ayant pas eu un bac S. La présence est alors obligatoire. Les séances seront alors des remises à niveau de la terminale S.
-Groupe Z: pour les étudiants ayant eu un bac S qui souhaitent améliorer leur niveau, poser des questions sur le cours, sur les TD, s'entraîner à des exercices, préparer les tests et examens. La présence n'est pas obligatoire mais très fortement conseillée.
Lieux pour les groupes Y et Z:
Groupe Y - en amphi Jordan (sauf le 13 décembre en Thémis 10)
Groupe Z - en amphi Déambulatoire 2 (sauf le 13 décembre en Thémis 9)

Cours INFO M. Laurent Pujo-Menjouet (mél, web)

Travaux dirigés : INFO

• Groupe A : Mme. Maria CARRIZOSA (mél)
• Groupe B : M. Dimitri COBB (mél)
• Groupe C : M. Léonard DEKENS (mél)
• Groupe D : M. Francesco FANELLI (mél)
• Groupe E : M. Gadi PERETS (mél)
• Groupe F : M. Hamza SI-KADDOUR (mél)
• Groupe G : M. Shmuel RAKOTONIRINA (mél)
• Groupe H : M. Simon ROBERT (mél)

Études surveillées : INFO

• Groupe Y : Mme Marion Jeeanin (mél) / Ulysse SERRES (mél)
• Groupe Z : M. Jean-Michel BROCHET (mél)/ M. Romain DUCASSE (mél)

Mon cours est disponible ici.
Le site Exo7 contient une grande base d'exercices (avec indications et corrections) ainsi que des éléments de cours pour les étudiants en mathématiques à l'université ou en classes préparatoires.
Des exercices corrigés et des annales d'examen sont également disponibles ici (voir notamment les rubriques Maths I Analyse, Maths I Algèbre et Fondamentaux des mathématiques I).
Livres recommandés : ce cours téléchargeable est une bonne référence couvrant toutes les mathématiques de première année. Les autres livres recommandés sont sur le PDF de mon cours (à la dernière page du PDF).

L'UE comporte une partie de contrôle continu avec plusieurs tests surprises en TD tout le long du semestre, et un contrôle partiel écrit de 1h30 de mi-semestre (date à venir).
L'examen final sera commun à tous les parcours (prépa, math, info, mathéco) et sera d'une durée de 2 heures.

Il faudra:
1- arriver en avance aux cours, TD et études surveillées en connaissant le cours précédent et en ayant préparé les exercices demandés,
2- utiliser les études surveillées comme soutien et préparation des TD et des examens, des tutorats seront également organisés tout au long du semestre,
3- toute absence injustifiée aux tests et examens sera sanctionnée d'un 0, toute absence justifiée sera rattrapée par une épreuve de substitution et devra être déclarée dans les 48h à la scolarité

Sommes de nombres réels. Le symbole Sigma. Changement d'indice. Sommes doubles. Règles de calculs dans les réels.

Sommes télescopiques. Sommes classiques (arithmétiques, des carrés, des cubes géométriques. Factorisation du type aⁿ-bⁿ. Produits. Symbole Pi. Factorielles. Propriétés des produits. Produits télescopiques. Produits doubles. Coefficients binomiaux (définition).

Propriété des coefficients binomiaux (preuves - fin). Formule du binôme de Newton. Egalités et inégalités dans R. Valeur absolue. Distance. Partie positive et partie négative d'un nombre. Intervalles dans R.

Majorant. Minorant. Bornes supérieures. Bornes inférieures. Maximum. Minimum
Assertions et prédicats. Les connecteurs logiques: négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence. Propriétés des connecteurs: logiquement équivalent, tautologie, incompatibilité, lois de Morgan, équivalences logiques à 3 prédicats (tout a été montré en cours).

Quantificateurs mathématiques: quel que soit et il existe. Equivalences logiques et quantificateurs. Prédicats à deux variables. Différents modes de raisonnement: par hypothèse auxiliaire, par l'absurde, par contraposée, par contre exemple, par récurrence (exemples donnés en cours).

Nombres complexes: forme algébrique. Lien entre R² et C. Définition. Convention pour les réels. Le nombre i. partie réelle, partie imaginaire, conjugué. Addition et produit sous forme algébrique. Propriétés du conjugué (prouvées en cours). Propriétés de l'addition et de la multiplication. Somme, produit et quotient de conjugués. Somme des n+1 premières puissances d'un complexe z (preuve laissée en exercice).
Forme géométrique: image d'un complexe, affixe d'un vecteur et d'un point. Interprétations géométriques: affixe de la somme d'un vecteur, affixe et points du plan, translation et somme (preuve en cours), réflexion et conjugué. Module: définition, propriétés.

Module: définition, propriétés, interprétation géométrique du module. Inégalité triangulaire. Nombres complexes: (suite) cercles et disques (interprétation avec les modules). Racines carrées et équations du second degré (à coefficients complexes ou réels). Théorème de d'Alembert-Gauss.
Arguments et géométrie: définition de l'argument. Propriétés des arguments. Formule de Moivre. Notation exponentielle. Propriétés des exponentielles complexes. Angles formés par trois points et argument (3 points alignés, droites perpendiculaires).

Nombres complexes (suite)
Racines énième d'un complexe. Racine énième de 1.
Applications trigonométriques: formules d'addition, formule de la tangente, formules de duplications, formules d'Euler, formules de linéarisation, formules de conversion de sommes en produit.
Complexes et homothéties, rotations et similitudes directes planes.

Nombres premiers: définition de multiple et de diviseur. Définition d'un nombre premier. Théorème d'Euclide. Théorème d'Euclide (suite). Division euclidienne. PGCD-PPCM (définition et existence et unicité).

Chapitre 4: Arithmétique (suite)
Algorithme d'Euclide . Nombres premiers entre eux. Identité de Bézout. Théorème de Bézout.
Théorème de Gauss. Equations diophantiennes. Nombres premiers et coefficients binomiaux.
Théorème fondamental de l'arithmétique. Congruence.

Chapitre 4: Arithmétique (fin)
Congruence (suite et fin). Bases. Petit théorème de Fermat et théorème des restes chinois.

Définition de polynômes à coefficients réels ou complexes: polynômes, monômes, ensembles C[X] et R[X]. Coefficient dominant. Polynôme unitaire. Degré de somme et degré de produit de deux polynômes. Polynôme dérivé.Dérivée énième. Dérivée de somme et de produit de polynômes.

Chapitre 5: Polynômes sur R ou C (suite et fin)
Composée de polynômes. Polynôme nul. Egalité de polynômes. Multiple d'un polynôme. Division euclidienne. Pgcd, ppcm de polynômes. Polynômes premiers entre eux. Théorème de Bézout pour les polynômes. Diviseur du pgcd. Théorème de Gauss pour les polynômes.
Polynômes irréductibles. Décomposition en polynômes irréductibles.
Racines des polynômes. Racines et diviseurs. Racines d'un polynôme de degré n. Racines multiples. Racines doubles et dérivée. Théorème de d'Alembert Gauss. Polynôme scindé. Polynômes irréductibles de C[X] et R[X]. Racines complexes de R[X].
Formule de Taylor pour les polynômes de C[X]. Division puissances croissantes. Relation entre racines et coefficients.

Rappels sur les ensembles: un ensemble est une collection d'objets appelés éléments. Symbole d'appartenance, d'inclusion, d'égalité. Ensemble vide. Parties (sous-ensembles) d'un ensemble. Ensemble P(E) des parties d'un ensemble E. Union, Intersection, Complémentaire. Règles de calculs pour les ensembles. Produit cartésien de deux ensembles. Notation E² pour ExE, E³ pour ExExE, etc.
Définition des fonctions.

Différence entre fonctions et applications. Définition du domaine de définition. Définition des images directes et réciproques. Propriétés des images directes et réciproques. Propriétés des images directes et réciproques (preuves). Graphe d'une application. Injectivité. Surjectivité. Bijectivité.

Composition d'applications. Application identité. Application réciproque. Ensembles finis. Cardinaux et applications.

Opérations algébriques. Restriction. Applications définies par morceaux. Dérivée en un point.
Dérivées et opérations algébriques. Dérivée d'applications composées. Dérivée d'application réciproque.
Applications majorées, minorées, bornées. Lien entre majoration de valeur absolue et application bornée.
Applications majorées par d'autres applications.

Monotonie. Monotonie et dérivées. Construction d'un tableau de variations. Somme, produit et composition d'applications monotones. Parité. Graphe symétrique par rapport à un axe vertical (droite d'équation x=a). Symétrie par rapport à un point quelconque du plan. Applications périodiques. Période fondamentale. Applications convexes: définitions, propriétés, lien avec la dérivée première et la dérivée seconde (exemples montrés en cours, mais les preuves sont donnés en exercice).

Applications usuelles: Application constante, identité, valeur absolue, partie entière, puissances entières, polynômes, racine énième, puissance rationnelle, homographique.
Application logarithme népérien: définition, propriétés, limites (beaucoup de preuves laissées en exercice).

Pratiques sur les applications usuelles (suite et fin).
Application exponentielle: définition, propriétés, limites (beaucoup de preuves laissées en exercice).
Applications circulaires (trigonométriques)= sinus, cosinus, tangente, cotangente.
Applications hyperboliques: cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, tangente hyperbolique, cotangente hyperbolique. Propriétés (quelques preuves faites en cours). Chapitre 3: Les suites
Définition. Suites classiques: arithmétiques, géométriques.

Définition. Suites classiques arithmético-géométriques. Récurrence d'ordre 2, linéaire: définition et formulation explicite.
Définition de la limite d'une suite. Unicité de la limite. Définition de la limite infinie. Suites majorées, minorées, bornées. Suite convergente et suite bornée.

Opérations sur les limites de 2 suites: limité d'une somme, limite d'un produit, limite d'un quotient. Comparaisons entre suites et limites. Limite d'une suite positive. Théorème des gendarmes. Recollement. Suites réelles et monotonie. Suites adjacentes. Suites extraites. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Suites de Cauchy. Suite de Cauchy bornée. Suite de Cauchy et convergence. Applications et suites.

Limites d'applications. Définition de l'adhérence. Définition d'une limite finie en un point, d'une limite infinie en un point.
Limites à droite, limites à gauche. Caractérisation séquentielle de la limite.

Limites finies et infinies en l'infini. Partie non majorée et partie non minorée.
Unicité de la limité. Egalité. Majoration, minoration. Comparaison. Majoration, minoration par une application.
Théorème des gendarmes.
Opérations algébriques sur les limites: somme, produit et quotient. Limites et composées. Limites et monotonie.
Critère de Cauchy.
Continuité. Caractérisation de Weierstrass. Continuité et limite. Continuité à gauche et à droite. Continuité sur un intervalle.
Caractérisation séquentielle de la continuité.

Limite d'une application en + et - l'infini. Partie non majorée. Unicité de la limite. Majoration, minoration.
Limites et comparaisons: majoration, minoration par une application. Théorème des gendarmes. Opérations algébriques sur les limites.
Limites et composée. Limite et monotonie. Critère de Cauchy. Limite et critère de Cauchy.

Continuité:
caractérisation de Weierstrass. Continuité et limité. Continuité à gauche, à droite. Continuité sur un intervalle. Caractérisation séquentielle de la continuité. Continuité et opérations algébriques. Continuité et composition d'applications.
Prolongement par continuité. Continuité d'applications usuelles.
Théorème de Bolzano. Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème de Weierstrass (bornes atteintes).
Continuité et monotonie. Monotonie et injectivité. Continuité et injectivité. Continuité et bijectivité.

Dérivée et continuité. Caractérisation de la dérivée. Dérivée et opérations algébriques. Dérivée et composition. Dérivée et application réciproque. Dérivée d'une application constante. Dérivée et monotonie.
Dérivée et extrema.

Définition de la dérivée en un point. Dérivée à droite et à gauche. Dérivée sur un intervalle.

Chapitre 5: Dérivabilité (suite et fin)

Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis. Théorème des accroissements finis généralisé. Prolongement en un point.
Règle de l'Hôpital. Dérivée des applications usuelles.
Dérivées successives: dérivée énième, classes d'applications (C^n, C^(infini)). Dérivée énième d'une somme d'applications. Formule de Leibniz. Formule de Faá di Bruno.
Applications convexes: convexité et dérivée, convexité et dérivée seconde, dérivée et minimum, convexité et minimum.