Algèbre III - séquence 3

Contenu


Permutations d’un ensemble fini. (notion de groupe hors programme) Définition, produit de cycles à supports disjoints. Signature : définition, multiplicativité.

Déterminants d’une matrice à coefficients dans un corps. Définition, propriétés caractéristiques du déterminant : multilinéarité, caractère alterné, det(AB) = det(A) det(B), det(A) = 0 ssi A n'est pas inversible, det(tA) = det(A). Déterminant par blocs. Développement par rapport à une ligne/colonne.

Réduction. Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique. Liberté d’une famille infinie de vecteurs. Sous-espaces propres, sous-espaces caractéristiques. Diagonalisation, trigonalisation. Polynômes d’endomorphisme, polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton. Décomposition de Dunford. Puissances d’une matrice, exponentielle de matrices, application aux équations différentielles à coefficients constants.

Avancement du cours


13 septembre : Chapitre 1 - Groupe symétrique. Permutations d'un ensemble fini : Définition, exemples. Cycles, décomposition en cycles à supports disjoints, décomposition en produit de transpositions. Définition de la signature, propriétés de la signature.

20 septembre : Chapitre 2 - Déterminants 1.1 Définition par récurrence du déterminant : Exemples. 1.2 Déterminant d'une famille de vecteurs colonne : Preuve de la linéarité en chaque variable de la fonction déterminant. Le déterminant est multilinéaire alterné en les colonnes.

27 septembre : Propriété importante : une famille de n vecteurs (dans un espace vectoriel de dim n) forment une base si et seulement si le déterminant de la matrice formée par leur coordonnées dans une base quelconque est non nul. 1.3 Déterminant et permutations : Définition du déterminant par les permutations, preuve de l'équivalence des définitions, applications : le déterminant est invariant par transposition, le déterminant du produit est le produit des déterminants, déterminant de l'inverse d'une matrice inversible. Développement du déterminant par rapport à une ligne (ou une colonne) quelconque.

4 octobre : Pas de cours magistral.

11 octobre : Chapitre 3 - Diagonalisation. 3.1 Motivations : exemple du calcul de la suite de Fibonacci par les puissances de matrices. Définition d'un endomorphisme et d'une matrice diagonalisable. 3.2 Valeurs propres, espaces propres : definitions, exemples. Polynôme caractéristique, exemples.

18 octobre : Rappels sur la somme directe de sous-espaces vectoriels. Stabilité des sous-espaces propres, les sous-esp. propres sont en somme directe, multiplicité géométrique inférieure ou égale à la multiplicité algébrique. 3.3 Critères de diagonalisation : équivalence entre u diagonalisable, P_u(X) scindé avec multiplicité alg=multi géom , et E=somme directe des espaces propres. corollaire : P_u(X) scindé à racines simples implique u diagonalisable (réciproque fausse!!!).

25 octobre : Chapitre 4 - Trigonalisation. Définition d'un endomorphisme/matrice trigonalisable, theo: u trigonalisable (sur K) si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K[X]. Si u est trigonalisable, tr u = somme valeurs propres et det u= produit des valeurs propres. Méthode de trigonalisation. Exemple.

8 novembre : Chapitre 5 - Polynôme minimal. 5.1 Polynômes d'endomorphismes et polynômes de matrices : définition de P(u) pour P dans K[X] et u un endomorphisme, exemples. Opérations dans K[u], commutativité de la composition, polynômes annulateurs d'un endomorphisme, exemples. Prop : les v.p d'un endomorphisme u sont parmi les racines de tout polynôme annulateur de u. 4.2 Théorème de Cayley-Hamilton : enoncé et preuve.

15 novembre : 5.3 Polynôme minimal : définition/existence, les valeurs propres d'un endomorphisme sont exactement les racines de son polynôme minimal, calcul du polynôme minimal, exemples. 5.4 Diagonalisation et polynômes annulateurs : lemme des noyaux. Caractérisation de la diagonalisation par le polynôme minimal : un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé.

22 novembre : Chapitre 6 - Projecteurs spectraux et décomposition de Dunford. 6.1 Espaces caractéristiques : définition des espaces caractéristiques, décomposition de tout l'espace en somme directe des espaces caractéristiques. La dimension de l'espace caractéristique associé à une valeur propre est sa multiplicité algébrique. 6.2 Projecteurs spectraux : Rappels sur les projections, définition des projecteurs spectraux. Prop : 1) somme des projecteurs spectraux = identité, 2) composition de deux projecteurs spectraux différents est nulle 3) les projecteurs spectraux d'un endomorphisme u sont des polynômes en u. Calcul des projecteurs spectraux.

Travaux dirigés


Fiches de TD

Avancement

* Groupe A : Tuna Altinel

18 septembre 2018 : Fiche 1, faite complètement
25 septembre 2018 : Fiche 2, exercices 1, 2, 3, 5.
2 octobre 2018 : Fiche 2 terminé sauf exercice 4. Fiche 3, exercices 1 - 6.
9 octobre 2018 : Fiche 3, exercices 7 - 10.
16 octobre 2018 : Fiche 3, exercices 11 - 13. Fiche 4, exercices 1, 2.1 .
23 octobre 2018 : Fiche 4, exercices 2 - 6, 7.1 - 7.3 .
6 novembre 2018 : Fiche 4, exercices 7.4 - 7.6, 8 - 10, 12 .
13 novembre 2018 : Fiche 5, exercices 2, 3, 5, 6 résumé .
20 novembre 2018 : Fiche 5, exercices 6, 8, 9.
27 novembre 2018 : Fiche 6, exercices 1, 2, 4, 6, 7.
4 décembre 2018 : Fiche 6, exercices 3, 8. Fiche 7, exercices 1, 2, 3, 4.1 (4.2 laissé comme exercice à la maison). 11 décembre 2018 : Fiche 7, exercices 4.3, 5, 6.

* Groupe B : Michele Ancona

* Groupe C : Gadi Perets

23 octobre 2018 : Fiche 4, exercices 1-8

* Groupe D : Thomas Strobl

23 octobre 2018 : Fiche 4, exercices 1, 2, 3, 8 et le début de 11.

Contrôles


Les CC auront lieu pendant les séances de TD aux dates suivantes :

  • 16 octobre
  • 13 novembre
  • 11 décembre

Chaque CC compte pour 20% de la note et l'examen final comptera 40%.

 
 
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