Topologie et équations différentielles

Semestre d'automne 2017

Permanence : vous pouvez passer poser des questions sur le cours le mercredi entre 13h et 14h, bureau d'Elise Fouassier, 254 bâtiment Braconnier.

Equipe pédagogique

Cours : Elise Fouassier

TD :

  • groupe A : Thomas Blossier
  • groupe B : Rouchdi Bahloul
  • groupe C : Johannes Kellendonk

Avancement du cours

Voici ce qui a été fait en cours jusqu'au 30 novembre. Le cours est maintenant terminé.

Topologie

I-Espaces métriques

1)Définitions
a) Distance, espace métrique
b) Boules
c) Construction de métriques
(métriques sur un produit fini d'espaces métriques, métrique induite)
d) Parties bornées, applications bornées
e) Distances Lipschitz-équivalentes

2)Espaces vectoriels normés
a) Définitions
b) Normes standard sur R^n
c) Normes matricielles
d) Normes sur des espaces de suites
e) Normes sur des espaces de fonctions

3) Topologie des espaces métriques
a) Ouverts, topologie
(propriétés vis à vis de l'union et de l'intersection)
b) Fermés
c) Topologie induite
d) Distances topologiquement équivalentes
(lien avec la notion de Lipschitz-équivalentes, cas des normes)
e) Intérieur, adhérence, frontière, sous-ensemble dense
f) Bases d'ouverts

4) Suites dans un espace métrique
a) Suites convergentes, limites
b) Limite et adhérence
c) Caractérisation séquentielle des fermés
d) Valeur d'adhérence d'une suite, suites extraites

5) Continuité
a) Applications continues
(définition métrique, caractérisation topologique)
b) Caractérisation séquentielle de la continuité
c) Continuité uniforme, applications lipschitziennes
d) Suites d'applications : convergence simple, convergence uniforme
e) Homéomorphismes
f) Continuité et espaces produits

6) Continuité des applications linéaires entre espaces vectoriels normés

II - Espaces métriques connexes

1) Définitions et propriétés
2) Exemple fondamental : les connexes de R
3) Fonctions continues et connexité
4) Union, adhérence, produit
5) Composantes connexes
6) Connexité par arcs
7) Quelques applications de la connexité
8) Espaces localement connexes

III - Espaces métriques compacts

1) Définition (propriété de Borel-Lebesgue)
2) Caractérisation séquentielle (propriété de Bolzano-Weierstrass)
3) Propriétés des parties compactes
4) Les compacts de R
5) Union, intersection, produit fini
6) Fonctions continues et compacts
a) Image d'un compact
b) Continuité uniforme
7) Application aux espaces vectoriels normés de dimension finie
a) Equivalence des normes
b) Continuité des applications linéaires
c) Théorème de Riesz

IV - Espaces métriques complets

1) Suites de Cauchy, espace complet
2) Exemple fondamental : R
3) Quelques propriétés
4) Séries dans un espace complet
5) Exemples d'espaces d'applications complets
6) Théorème du point fixe de Banach
7) Théorème de prolongement des applications uniformément continues
8) Complété d'un espace métrique

V - Complément : théorème d'Ascoli

1) Le théorème d'Ascoli
2) Le théorème de Cauchy-Peano

Equations différentielles

I-Premières définitions, cadre

1) Equation différentielle
(cadre : dimension finie, ordre 1, sous forme résolue)
2) Solutions

II-Théorie de Cauchy-Lipschitz : “première”

1) Enoncé du théorème de Cauchy-Lipschitz
(“forme faible”, f de classe C^1 ; admis pour l'instant)
2) Discussion autour du résultat énoncé
(unicité…)
3) Equations d'ordre supérieur
4) La “forme forte” du théorème de Cauchy-Lipschitz
(cas f continue, et localement lipschitzienne par rapport à la variable d'état)
5) Premières conséquences du théorème de Cauchy-Lipschitz
6) Lemme de Gronwall
7) Théorème d'explosion en temps fini

III - Les équations différentielles linéaires

1) Structure de l'ensemble des solutions
2) Le cas à coefficients constants, homogène
a) Expression de la solution (exponentielle de matrices)
b) Calcul pratique de exp(tA) (en utilisant la réduction de Jordan)
c) Stabilité (étude du comportement de exp(tA) quand t tend vers l'infini)
3)Le cas général homogène (définition et propriétés de la résolvante)
4) Les équations avec second membre

IV - Quelques éléments d'étude qualitative des équations différentielles autonomes

1) Stabilité des solutions stationnaires (ou équilibres)
2) Portraits de phase (dimension 2)

V - Théorie de Cauchy-Lipschitz : “deuxième”

1) Preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz
2) Théorème des bouts (ou “de sortie de tout compact”)
3) Le flot associé à une équation différentielle.

Feuilles de TD

 
 
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