Cette page contient des informations relatives à l'UE Fondamentaux des mathématiques I, groupe MATH (séquences 5 et 1).
Pour les autres séquences, voir ici
Le programme de l'UE est disponible ici
L'UE se compose de 46h de cours magistraux, 64h de travaux dirigés et 24h d'études surveillées.
Les cours ont lieu le lundi matin (2h ou 3h selon les semaines) et le vendredi matin (2h).
Les travaux dirigés ont lieu le mardi après-midi (3h) et le vendredi après-midi (2h30).
Les études surveillées (2h) sont organisées le jeudi matin, après le cours. Deux enseignantes y sont présentes pour répondre aux questions sur les cours ou les TD. Il est fortement conseillé aux étudiants d'y assister.
Cours : M. Simon MASNOU
Travaux dirigés :
Études surveillées : Mmes Véronique BATTIE et Morgane BERGOT
Le site Exo7 contient une grande base d'exercices (avec indications et corrections) ainsi que des éléments de cours pour les étudiants en mathématiques à l'université ou en classes préparatoires.
Des exercices corrigés et des annales d'examen sont également disponibles ici (voir notamment les rubriques Maths I Analyse, Maths I Algèbre et Fondamentaux des mathématiques I).
Livre recommandé : ce cours téléchargeable est une bonne référence couvrant toutes les mathématiques de première année.
L'UE comporte une partie de contrôle continu.
Le premier examen a eu lieu jeudi 28 septembre de 10h à 10h45 (programme : cours sur les chapitres I et II, et exercices vus en TD portant sur ces chapitres).
Voici l' énoncé et son corrigé.
Le second examen a eu lieu jeudi 19 octobre de 10h à 10h45 (programme : cours sur les chapitres I à IV, exercices vus en TD portant sur ces chapitres).
Voici l' énoncé et son corrigé.
Le partiel a eu lieu le jeudi 16 novembre de 10h à midi (programme : cours sur les chapitres I à VI, et exercices vus en TD portant sur ces chapitres).
Voici l' énoncé et son corrigé.
Le troisième examen a eu lieu le jeudi 7 décembre de 10h à 10h45 (programme : cours sur les chapitres I à VIII, et exercices vus en TD portant sur ces chapitres).
Voici l' énoncé et son corrigé.
L'examen de rattrapage pour les étudiants ayant une absence justifiée à l'un des examens précédents aura lieu en Lippmann 107 le vendredi 15 décembre à 14h (durée : 45mn ou 2h selon l'examen à rattraper).
L'examen final aura lieu le mercredi 20 décembre de 14h à 16h (les étudiants recevront individuellement une convocation précisant la salle).
Calcul de la note finale d'UE :
(Examen final)*30% + Partiel*30% +[Examen 1 + Examen 2 +Examen 3 + Max(Examen1, Examen2, Examen 3)]*10%
Feuille de TD no 1 ( Calculs algébriques).
Feuille de TD no 2 ( Applications).
Feuille de TD no 3 ( Bases de logique).
Feuille de TD no 4 ( Fonctions usuelles).
Feuille de TD no 5 ( Nombres complexes).
Feuille de TD no 6 ( Suites réelles).
Feuille de TD no 7 ( Arithmétique).
Feuille de TD no 8 ( Limites et continuité).
Feuille de TD no 9 ( Polynômes).
Feuille de TD no 10 ( Dérivabilité).
Sommes et produits finis de nombres réels ou complexes
Changement d'indice, sommes télescopiques.
Somme des n premiers entiers, n premiers carrés d'entiers, etc.
Factorielle. Coefficients binômiaux. Formule du triangle de Pascal. Formule du binôme de Newton.
Propriétés de ≤ dans l'ensemble des réels.
Valeur absolue. Distance entre deux réels. Parties positive et négative d'un réel. Inégalités triangulaires.
Un intervalle de R est un ensemble I tel que pour tout x,y éléments de I le segment [x,y] est inclus dans I (on entend par segment l'ensemble des points compris entre x et y sans préciser si x>=y ou y⇐x). Un intervalle de R est convexe. Enumération de tous les intervalles possibles de R (on admet que ce sont les seuls possibles).
Plus grand élément, plus petit élément d'une partie de R (quand ils existent).
Majorant, minorant d'une partie de R (quand ils existent).
Borne inférieure, borne supérieure définies comme le plus grand des minorants et le plus petit des majorants, s'ils existent.
Axiome de la borne supérieure.
Ensembles: un ensemble est une collection d'objets appelés éléments. Symbole d'appartenance. Ensemble vide. Parties (sous-ensembles) d'un ensemble. Ensemble P(E) des parties d'un ensemble E. Union, Intersection, Différence, Complémentaire. Produit cartésien de deux ensembles. Notation E2 pour ExE, E3 pour ExExE, etc.
Relation : une relation R est donnée par un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivée F et une partie G de ExF appelée graphe. On note xRy si x est en relation avec y.
Fonction : c'est une relation R de E dans F telle que tout élément de E est en correspondance avec au plus un élément de F. Le domaine de définition de f, Df, est l'ensemble des éléments de E qui admettent un correspondant. Comme il n'y en a qu'un pour chaque x de Df, on peut noter y=f(x) cet élément.
Composée de deux fonctions
Application : c'est une fonction f:E→F telle que Df=E.
Réciproque d'une application. C'est une relation mais généralement pas une application.
Injection, surjection, bijection.
La composée de deux injections (resp. surjections, bijections) est une injection (resp. surjection, bijection).
Si gof est injective alors f est injective. Si gοf est surjective alors g est surjective.
Si f est une application alors (f est bijective ⇔ sa relation réciproque est une application).
Si f est bijective alors l'application réciproque est bijective.
(f: E→F bijective) ⇔ (il existe une application g: F→ E telle que gof=IdE et fog=IdF).
Si f est bijective alors, avec les notations précédentes, g=f-1. Si f:E→F et g:F→G sont bijectives alors gοf l'est aussi et (gοf)-1=f-1οg-1.
Restriction et prolongement d'une application. Application réduite.
Images directes et réciproques d'une application.
Assertion.
Négation.
Tables de vérité de et, ou, ⇒ et ⇔ et vocabulaire associé (hypothèse, conclusion, condition nécessaire, suffisante).
Principaux théorèmes de logique : négation de (p et q), négation de (p ou q), négation de (p⇒ q) et raisonnement par l'absurde, associativité et distributivité pour ou et et, transitivité de l'implication. Preuve que (P⇒Q) équivaut à (non Q ⇒ non P), notion de contraposée.
Quantificateurs, enchaînement des quantificateurs et importance de l'ordre d'apparition quand les quantificateurs sont de natures différentes. Négation d'une phrase quantifiée.
Raisonnements : direct, par contraposée, par l'absurde, par disjonction, avec contre-exemple.
Principe de récurrence (et preuve de ce principe), principe de récurrence à deux pas et principe de récurrence forte. Illustration avec la formule du cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini, et l'expression de la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique ou d'une suite géométrique.
Rappel sur l'existence de primitives pour les fonctions continues sur un intervalle de R. Le logarithme néperien est défini comme l'unique primitive de 1/t sur R*+ qui s'annule en 1. Preuve des principales propriétés : propriétés algébriques, dérivée, stricte monotonie, croissance comparée avec x en +∞ et 1/x en 0, existence et unicité de la constante de Néper (le théorème des valeurs intermédiaires est admis à ce stade).
Dérivée des fonctions composées (admis à ce stade) et expression de la dérivée de ln(u) lorsque u est une fonction de R dans R*+.
Fonction exponentielle : définition et propriétés. Fonctions puissances : définition et propriétés. Comparaison des fonctions ln, exp et puissances.
Rappels sur les fonctions trigonométriques circulaires. Fonctions circulaires réciproques : définitions et propriétés principales.
Fonctions trigonométriques hyperboliques : définitions et propriétés. Liens entre les fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques. Lien entre ch, sh et un paramétrage d'hyperbole.
Formulaires de trigonométries circulaire et hyperbolique.
C est défini comme R2 muni des deux lois de composition interne d'addition et de multiplication. On identifie R à l'ensemble des complexes de la forme (a,0). On définit i comme le complexe (0,1) et on montre que tout complexe (a,b) peut s'écrire comme a+ib. Propriétés de l'addition et de la multiplication dans C. Partie réelle et partie imaginaire. Conjugaison. Image d'un complexe dans un plan muni d'un repère orthonormal, affixes d'un point et d'un vecteur. L'application z→z+b correspond à une translation de l'image de z par le vecteur d'affixe b. L'application z→conjugué(z) correspond à la réflexion par rapport à l'axe des abscisses. Module d'un complexe (définition et propriétés), inégalités triangulaires. Nombres complexes de module 1. Exponentielle imaginaire. Formules d'Euler. Formule de Moivre. Argument d'un complexe non nul, forme trigonométrique. Fonction exponentielle complexe. Racines n-ièmes de l'unité, racines n-ièmes d'un complexe non nul. Racines carrées d'un complexe. Équations du second degré à coefficients complexes. Nombres complexes et géométrie plane (distance, barycentres, angles). Transformations du plan et applications associées dans le plan complexe : translations, rotations, homothéties, similitudes directes.
Définition d'une suite réelle comme application de N dans R (ou de {n, n>=n0} dans R). Addition, multiplication de deux suites réelles, multiplication d'une suite par un scalaire. Notion de propriété vérifiée à partir d'un certain rang. Suites majorées, minorées, bornées. Suites monotones, strictement monotones, suites constantes. Convergence d'une suite réelle (définition à l'aide des quantificateurs). Convergence de la suite des valeurs absolues d'une suite convergente. Suite divergente. Exemples de suites convergentes et divergentes (bornées, non bornées). Toute suite réelle convergente est bornée. Limites d'une combinaison linéaire, d'un produit, d'un quotient de suites convergentes. Limites et relations d'ordre, théorème des gendarmes. Limites infinies, limites de combinaisons entre suites ayant une limite finie ou infinie. Suite extraite. Toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite. Théorème de la limite monotone. Suites adjacentes, théorème des suites adjacentes, théorème des segments emboîtés. Théorème de Ramsey (non démontré en cours, mais voici la preuve). Théorème de Bolzano-Weierstrass.
Relation de divisibilité, propriétés. Congruence. Congruence et somme, produit, puissance. Division euclidienne (avec un diviseur dans N, dans Z). PGCD, PPCM. Théorème d'Euclide. Algorithme d'Euclide. Nombres premiers entre eux. Théorème de Bachet-Bézout (identité de Bézout). Théorème de Bézout. Calcul par l'algorithme d'Euclide des coefficients de Bézout dans l'égalité au+bv=1. Théorème de Gauss. Quelques propriétés des diviseurs et des multiples. Résolution générale de l'équation diophantienne ax+by=c. Si a et b sont premiers entre eux alors leur pgcd vaut |ab|. Dans le cas général, pgcd(a,b).ppcm(a,b)=|ab|. Nombres premiers, propriétés. Nombres composés. Tout entier supérieur à deux admet un diviseur premier. L'ensemble des nombres premiers est infini (preuve laissée en exercice). Théorème de décomposition en facteurs premiers (existence prouvée, unicité admise). Valuation. Calcul du pgcd et du ppcm de deux entiers naturels à partir de leur décomposition en facteurs premiers (admis).
Définition des points d'accumulation d'une partie de R. Définition séquentielle de la limite d'une fonction. Propriétés des limites : si f et g tendent vers a et b (finies ou infinies), limites de f+g (si a+b a un sens) et d'une combinaison linéaire de f et g (si la combinaison des limites a un sens), 1/f (si a est non nul), f/g (si a/b a un sens). Définition séquentielle de la continuité en un point, de la continuité sur une partie de R. Formulation de la limite d'une fonction avec des quantificateurs (limite finie ou infinie). Formulation de la continuité avec des quantificateurs. Limite à gauche, à droite. Continuité à gauche, à droite. Une fonction est continue en un point si et seulement si elle est continue à gauche et à droite en ce point. Prolongement par continuité. Limites et relation d'ordre. Théorème des gendarmes pour les limites de fonctions. Théorème de composition des limites. Continuité de la composition de deux fonctions continues. Théorème de la limite monotone. La limite d'une suite convergente définie par une récurrence de la forme un+1=f(un) avec f continue est un point fixe de f. Théorème des bornes. Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème de la bijection continue. Fonction uniformément continue. Théorème de Heine (admis). Théorème de Banach-Picard (admis).
Définition d'un polynôme de K[X] (K=R ou C) comme une suite d'éléments de K dont tous les termes sont nuls à partir d'un certain rang. Définition de la somme et d'un produit de polynômes. Propriétés de K[X]. Polynôme X, décomposition d'un polynôme comme une combinaison linéaire de Xk. Degré et valuation d'un polynôme. Degré, valuation d'une somme, d'un produit. Terme dominant, polynôme unitaire. Composition de deux polynômes. Diviseur d'un polynôme. Théorème de décomposition euclidienne. Fonction polynômiale. Racines d'un polynôme. Un polynôme non nul de degré ⇐n admet au plus n racines. Tout polynôme qui admet une infinité de racines est le polynôme nul. Racines multiples et notion de multiplicité. Polynôme dérivé. Dérivées successives. Énoncé (sans preuve) des formules de Leibniz et Taylor. Caractérisation des racines d'ordre m à l'aide des dérivées du polynôme jusqu'à l'ordre m. Notion de polynôme scindé. Théorème de d'Alembert Gauss. Si P est un polynôme de R[X] et z en est une racine complexe alors \Bar(z) est aussi racine. Factorisation des polynômes de R[X]. Polynôme irréductible de C[X] et R[X]. Arithmétique de K[X] (K=R ou C) : propriétés des diviseurs d'un ou deux polynômes, du PGCD de deux polynômes ; théorème de Bézout, lemme de Gauss ; PPCM et comment le trouver à l'aide du PGCD.
Dérivée à gauche, à droite. Dérivée en un point. Toute fonction dérivable est continue. Preuve des formules sur les dérivées de af+bg, fg, f/g, 1/g, gof ainsi que la dérivée de f^_1 quand la bijection réciproque est dérivable. Points d'extremum globaux et locaux. Théorème de Fermat. Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis.