Cette page contient des informations relatives à l'UE Fondamentaux des mathématiques I en séquences 5 et 2.
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Le programme de l'UE est disponible ici
L'UE se compose de 46h de cours magistraux, 64h de travaux dirigés et 24h d'études surveillées.
Les cours ont lieu le jeudi matin (2h) et le vendredi matin (2h).
Les travaux dirigés ont lieu le lundi après-midi (3h) et le vendredi après-midi (2h).
Les études surveillées (2h) sont organisées soit le jeudi matin, soit le vendredi matin.
Pour avoir l'emploi du temps de la semaine en cours, il faut cocher sur adelb les deux cases
Fondamentaux des mathématiques I - Séquence 2 et Fondamentaux des mathématiques I - Séquence 5
Cours : M. Simon MASNOU
Travaux dirigés :
Études surveillées : MM. Jean-Christophe BÉNIÈRE et Simon MASNOU
Certains exercices relatifs au programme de l'UE sont proposés en ligne grâce au logiciel Webwork.
Pour y accéder, se connecter à la plateforme Moodle en utilisant ses identifiants Lyon 1. La page d'accueil propose plusieurs catégories de cours. Choisir Licence L1, parcours Maths-info puis cliquer sur Fondamentaux des mathématiques I. Il suffit alors pour terminer l'inscription de donner la clef d'inscription MAT1044L
Le site Exo7 contient une grande base d'exercices (avec indications et corrections) ainsi que des éléments de cours pour les étudiants en mathématiques à l'université ou en classes préparatoires.
L'UE comporte une partie de contrôle continu.
Les dates des examens sont :
La note est calculée comme suit :
Note de l'UE = (Examen1 + Examen2 + Examen3)/3*0.2 + Partiel*0.3 + Examen final*0.5
Voici le sujet de l'examen 1 et son corrigé.
Voici le sujet du partiel et son corrigé.
Voici le sujet de l'examen 2 et son corrigé.
Voici le sujet de l'examen 3 et son corrigé.
Feuille de TD no 1 ( pdf) et son corrigé ( pdf).
Feuille de TD no 2 ( pdf) et son corrigé ( pdf).
Feuille de TD no 3 ( pdf) et son corrigé ( pdf).
Feuille de TD no 4 ( pdf) et son corrigé ( pdf).
Feuille de TD no 5 ( pdf) et son corrigé ( pdf).
Feuille de TD no 6 ( pdf) et son corrigé ( pdf).
Feuille de TD no 7 ( pdf) et son corrigé ( pdf).
Feuille de TD no 8 ( pdf) et son corrigé ( pdf).
Feuille de TD no 9 ( pdf) et son corrigé ( pdf).
Feuille de TD no 10 ( pdf) et son corrigé ( pdf).
Sommes et produits de réels. Sommes classiques. Sommes doubles. Factorielle, coefficients binômiaux. Triangle de Pascal. Formule du binôme de Newton. Relation ⇐ dans R. Opérations sur les inégalités réelles. Inégalités et monotonie des fonctions réelles. Valeur absolue, parties positive et négative d'un réel. Inégalités triangulaires. Majorant, minorant, maximum, minimum. Bornes supérieure et inférieure d'un ensemble borné. Intervalles de R, parties convexes de R.
Forme algébrique, propriétés de Re et Im, nombre conjugué et propriétés, point d'affixe z et vecteur d'affixe z. Notion de congruence. Exponentielle complexe (définie comme exp(a+ib)=exp(a) [ cos(b)+i sin(b)]. Conjugué de e^z, calcul de 1/e^z. exp(z+z')=exp(z).exp(z') et autres formules avec l'exponentielle complexe, notamment la formule de Moivre et les formules d'Euler Quelques formules trigonométriques. Forme trigonométrique. Inégalités triangulaires. Racines n-ièmes de l'unité. Racines n-ièmes d'un complexe non nul. Équations du second degré dans C. L'exponentielle complexe est surjective de C dans C*. Longueur d'un segment AB = module de a-b où a et b sont les affixes de A et B. Angle entre deux vecteurs vec(AB) et vec(CD) = argument (d-c/b-a) modulo 2pi. Définition d'une similitude directe az+b, d'une similitude indirecte. Point fixe d'une similitude directe quand a est différent de 1. Toute similitude directe est soit une translation, soit la composée d'une rotation et d'une homothétie.
Assertion. Négation. Tables de vérité de et, ou, ⇒ et ⇔ et vocabulaire associé (hypothèse, conclusion, condition nécessaire, suffisante). Principaux théorèmes de logique : contraposée, négation de (p et q), négation de (p ou q), négation de (p⇒ q) et raisonnement par l'absurde, associativité et distributivité pour ou et et, transitivité de l'implication. Ordre des quantificateurs. Négation d'une phrase quantifiée. Principe de récurrence, récurrence forte. Ensembles : élément, inclusion, partie, ensemble des parties. Opérations sur les parties : complémentaire, union, intersection, différence, différence symétrique. Propriétés de ces opérations (stabilité, commutativité, associativité, distributivité). Produit cartésien de deux ensembles, définition et propriétés.
Relation, relation composée, relation réciproque. Fonctions (une fonction est une relation de E vers F telle que tout élément de E est en relation avec au plus un élément de F). Domaine de définition, notions d'image et d'antécédent. Composée de deux fonctions. La réciproque d'une fonction n'est pas une fonction en général. Applications, composée de deux applications. Injectivité, surjectivité, bijectivité. Définition d'une involution. La composée de deux injections (surjections, bijections) est une injection (surjection, bijection). Si gof est injective alors f est injective. Si gοf est surjective alors g est surjective. Si f est une application alors (f est bijective ⇔ sa relation réciproque est une application). Si f est bijective alors l'application réciproque est bijective. (f: E→F bijective) ⇔ (il existe g: F→ E telle que gof=IdE et fog=IdF). Si f est bijective alors, avec les notations précédentes, g=f-1. (f involutive) ⇔ (f bijective et f-1=f) Restriction d'une application. Prolongement d'une application. Rappels des définitions de monotonie pour f: E→ F avec E et F deux ensembles ordonnés. Images directes et réciproques d'une application. Image directe ou réciproque d'une inclusion, d'une union, d'une intersection.
Définition et propriétés de a divise b (noté a|b).
Théorème de division euclidienne.
Congruence.
Systèmes de numération (décomposition unique en base b).
PGCD, PPCM. Preuve de Σ1nx_iZ = pgcd(x_1,…,x_n)Z et ppcmZ=∩1nx_iZ.
Associativité du pgcd et du ppcm. Algorithme d'Euclide. Nombres premiers entre eux. Identité de Bachet-Bézout. Théorème de Bézout
Identification par l'algorithme d'Euclide de (u,v) tel que au+bv=1 quand a et b sont premiers entre eux. Résolution dans Z de l'équation ax+by=c. Théorème de Gauss.
Nombres premiers.
Introduction : différence entre un polynôme et une fonction polynômiale.
Définition d'un polynôme comme une suite d'éléments de K=R ou C à support fini. Degré, valuation, coefficient dominant. Addition, multiplication. Représentation à l'aide de l'indéterminée, la famille (1,X,X2,…,Xn,…) permet de représenter tout polynôme de K[X] de façon unique. Composition des polynômes. Dérivation, formule de Leibniz, formule de Taylor.
Arithmétique dans K[X] (toujours avec K=R ou C) : divisibilité, division euclidienne, pgcd, ppcm, polynômes premiers entre eux, identité de Bézout, théorème de Bézout, théorème de Gauss. Polynômes irréductibles.
Racines des polynômes; Si x1,…,xn sont des racines deux à deux distinctes de P alors Π(X-xi) divise P. Si un polynôme de degré < n admet n racines, alors il est nul. Racines d'ordre au moins k, d'ordre exactement k.
Polynômes scindés. Relations entre coefficients et racines d'un polynôme scindé.
Caractérisation par les dérivées de “z est racine d'ordre au moins k” ou “z est racine d'ordre exactement k”.
Théorème de d'Alembert-Gauss dans C[X] (admis).
Preuve que dans R[X] les seuls polynômes irréductibles sont ceux de degré 1, et ceux de degré 2 à discriminant < 0.
Décomposition primaire d'un polynôme dans R[X] et C[X].
Généralités sur les fonctions de R dans R : parité et symétrie du graphe; parties positive et négative d'une fonction; fonction majorée, minorée, bornée; minimum et maximum; rappels sur les notions de continuité, dérivabilité et primitive vues en Terminale; fonctions de classe Ck; Lien entre dérivée et monotonie sur un intervalle.
Fonctions usuelles : le logarithme néperien est défini comme l'unique primitive de 1/t sur R*+ qui s'annule en 1. L'exponentielle est la fonction réciproque de ln. Propriétés de ln et exp. Fonctions puissances (exposants entiers et non entiers). Croissances comparées (exp, ln, puissances de x). Fonctions hyperboliques ch, sh et th : définition, propriétés et formulaire. Formulaire sur les fonctions trigonométriques
Définition d'une suite. Limite (finie ou infinie, avec les quantificateurs), convergence, divergence. Unicité de la limite.
Suite majorée, minorée, bornée.
Suite extraite, théorème de Bolzano-Weierstrass.
Opérations avec les limites : une suite convergente est bornée; limite d'une somme de suites ayant des limites l et L (finie ou infinies) lorsque l+L a un sens, limite d'un produit, limite de l'inverse. Théorème d'encadrement.
Suites monotones : toute suite monotone a une limite dans RU{-∞,+∞}. Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorante converge. Corollaire : toute suite réelle croissante (resp. décroissante) et non majorée (resp. non minorée) tend vers -∞ (resp. -∞).
Théorème des suites adjacentes, théorème des segments emboîtés.
Théorème de Ramsey. Théorème de Bolzano-Weierstrass.
Suites de Cauchy. Une suite réelle est convergente si, et seulement si, elle est de Cauchy.
Définition d'un point d'accumulation
Limite d'une fonction en un point d'accumulation (définition séquentielle).
Continuité (définition séquentielle).
Extrema.
Théorème des bornes (i.e. une fonction continue sur un intervalle fermé, borné de R, atteint ses bornes).
Théorème des valeurs intermédiaires. Conséquences : si f est continue sur un intervalle alors (f injective ⇔ f strictement monotone). Si f est continue et injective sur un intervalle I alors sa réciproque est une fonction continue sur f(I). Sous ces hypothèses, f et sa réciproque ont le même sens de monotonie. Les graphes de f et de sa réciproque sont symétriques. Illustration avec la fonction arccos.
Définition de la continuité avec quantificateurs. Preuve de l'équivalence avec la définition séquentielle. Preuve qu'on peut utiliser la définition de la continuité avec une fonction positive g(ε) tendant vers 0 quand ε tend vers 0.
Continuité uniforme : définition et contre-exemple (graphique) avec la fonction x→sin 1/x
Théorème de Heine
Définition de la limite avec quantificateurs et lien avec la continuité
Changement de variable dans une limite
Variantes du théorème des gendarmes pour les limites
Limites à droite et à gauche
Prolongement par continuité
Définition, équation de la tangente
Somme, composée, ratio de fonctions dérivables
Théorème de Fermat, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, théorème de Lagrange généralisé
Monotonie d'une fonction dérivable et signe de la dérivée
Théorème de la bijection et dérivabilité de la fonction réciproque
Règle de l'Hôpital
Fonction lipschitzienne, fonction contractante
Théorème du point fixe de Picard (admis) et convergence d'une suite récurrente un+1=f(un) avec f contractante.