Algèbre III - - sequence 3

CC2 mardi 13 décembre

Le cours ont lieu les jeudis de 14h à 16h et les TD les mardis de 9h45 à 13h.

AVANCEMENT DU COURS


  • 8 sept : Chapitre 1 : Déterminants. Définition par récurrence, premières propriétés. Déterminant comme forme n-linéaire alternée.
  • 15 sept : Groupe Symétrique : définition d'une permutation, notation en 2 lignes, définition d'un cycle, du support d'une permutation. Écriture d'un cycle comme produit de cycles à supports disjoints. Écriture d'un cycle comme produit de transpositions. Définition de la signature, exemples.
  • 22 sept : Propriétés de la signature. Définition du déterminant par les permutations. Déduction des propriétés suivantes : det A^t=det A, det (AB)=(det A) (det B). Développement du déterminant par rapport à une ligne ou une colonne quelconque. Calcul de l'inverse d'une matrice par la règle de Cramer.
  • 29 sept : Formules de Cramer, déterminant des matrices diagonales par blocs. Chapitre 2 : Valeurs propres, vecteurs propres. Définition des valeurs propres, vecteurs propres, espace propre. Calcul des valeurs propres, polynôme caractéristique, exemples.
  • 6 oct : Définition d'un endomorphisme diagonalisable, exemples. Rappels somme directe espaces vectoriels. Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres différentes sont en somme directe. Si le polynôme caractéristique est scindé a racines simples l'endomorphisme est diagonalisable. Définition de la multiplicité algébrique et géométrique.
  • 13 oct : Preuve de deux lemmes : les espaces propres d'un endomorphisme u sont stables par u et pour tout sous-espace vectoriel F stable par u le polynôme caractéristique P(u|F) divise P(u). Exemples. Théorème de caractérisation des endomorphismes diagonalisables : u diag. ssi P(u) scindé et pour chaque valeur propre λ, mult_alg(λ)=mult_geom(λ). Applications de la diagonalisation : calcul des puissances d'une matrice, résolution de systèmes différentiels linéaires, calcul du terme général d'une suite récurrente linéaire. Exemples.
  • 20 oct : Trigonalisation. Exemples. Critère de trigonalisation. Trace et déterminant d'un endomorphisme, si u est trigonalisable la trace est la somme des valeurs propres et le déterminant le produit. Méthode de trigonalisation. Applications.
  • 3 nov : Chapitre 3 : Polynôme minimal. Définition des polynômes d'endomorphismes, exemples. Polynomes annulateurs : déf, tout endomorphisme u d'un espace vectoriel de dimension finie possède un polynôme annulateur, les valeurs propres de u sont des racines de tous les polynômes annulateurs de u. Lemme de décomposition en noyaux.
  • 10 nov : Définition du polynôme minimal, existence, unicité, divise tout polynôme annulateur. Théorème : un endomorphisme est diagonalisable ssi son polynôme minimal est scindé à racines simples. Théorème de Cayley-Hamilton (preuve avec la comatrice des cofacteurs).
  • 17 nov : PARTIEL.
  • 24 nov : Calcul du polynôme minimal. Chapitre 4 : Décomposition spectrale des endomorphismes. Matrices nilpotentes, caractérisation par le polynôme minimal de la forme X^k, valeurs propres nulles. Définition des espaces caractéristiques de u dans End(E) dont le polynome caractéristique est scindé, propriétés : stables par u, ils sont en somme directe et leur somme est l'espace E, dimension = multiplicite algébrique de la valeur propre correspondante. Définition des projecteurs spectraux. Décomposition de Dunford : énoncé du théorème et quelques éléments de la démonstration.
  • 1 dec : Calcul des projecteurs spectraux. Applications de la décomposition spectrale : calcul des puissances d'une matrice, la fonction exponentielle.
  • 8 dec : Révisions.

Fiches de TD

Contrôles


CC1 mardi 11 octobre, sujet.

Partiel 17 nov sujetcorrigé

CC2 mardi 13 dec

Livres recommandés


Pour s’entraîner


Contenu


Permutations d’un ensemble fini. (notion de groupe hors programme) Définition, produit de cycles à supports disjoints. Signature : définition, multiplicativité.

Déterminants d’une matrice à coefficients dans un corps. Définition, propriétés caractéristiques du déterminant : multilinéarité, caractère alterné, det(AB) = det(A) det(B), det(A) = 0 ssi A n'est pas inversible, det(tA) = det(A). Déterminant par blocs. Développement par rapport à une ligne/colonne.

Réduction. Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique. Liberté d’une famille infinie de vecteurs. Sous-espaces propres, sous-espaces caractéristiques. Diagonalisation, trigonalisation. Polynômes d’endomorphisme, polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton. Décomposition de Dunford. Puissances d’une matrice, exponentielle de matrices, application aux équations différentielles à coefficients constants.

 
 
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