Algèbre pour la géométrie et l'arithmétique - semestre d'automne 2014

Cours et travaux dirigés par Maria Carrizosa (carrizosa[at]math.univ-lyon1.fr) & Thomas Blossier (blossier[at]math.univ-lyon1.fr) Bur 239 Bâtiment Braconnier

Contrôles

• Interrogation 1 (CC1 - 15%) jeudi 9 octobre - sujet
• Contrôle partiel (CC2 - 30%) vendredi 7 novembre - sujet
• Interrogation 2 (CC3 - 15%) jeudi 11 décembre
• Contrôle final (40%) début janvier

Programme du cours

1. Arithmétique élémentaire

• Anneau euclidien (Z,+,x) : divisibilité, nombres premiers, division euclidienne, PGCD, algorithme d'Euclide, lemme de Gauss, PPCM, décomposition d'un entier en nombres premiers.
• Arithmétique des congruences : congruence, les anneaux quotients Z/nZ, indicatrice d'Euler, théorème des restes chinois.

2. Groupes

• Groupes, sous-groupes, morphismes, isomorphismes.
• Exemples (en cours-TD) : groupe des racines n-ième de l'unité; centre du groupe linéaire; groupe orthogonal en dimension 2; groupe des isométries du carré.
• Groupe symétrique : décomposition en cycles à supports disjoints, ordre d'une permutation (cf fiche 3 cours-TD).
• Théorème de Lagrange, sous-groupes distingués, groupes quotients, théorème d'isomorphisme de Noether.

3. Anneaux de polynômes / Anneaux euclidiens

• Anneaux, corps, exemples, morphismes, caractéristique, anneaux intègres, corps de fractions.
• Anneaux de polynômes : définition, degré, division euclidienne, racines, polynômes scindés, rappel du théorème de d'Alembert-Gauss, polynôme dérivé et racines multiples.
• Anneaux euclidiens : définition, PGCD, algorithme d'Euclide, identité de Bézout, lemme de Gauss, irréductibles, anneaux factoriels.
• Critères d'irréductibilité dans Z[X] et Q[X] : polynômes primitifs de Z[X], Z[X] est factoriel, critère d'Eisenstein, réductions modulo p.

Fiches de TD

• Fiche 1 : Arithmétique élémentaire.
• Fiche 2 : Généralités sur les groupes.
• Fiche 3 : Groupe symétrique.
• Fiche 4 : Groupes : ordres, sous-groupes distingués, quotients.
• Fiche 5 : Anneaux de polynômes / Anneaux euclidiens.

Références

1. D. Guin, Algèbre (Tome 1 : Groupes et anneaux), Belin (1997)
2. D. Guin, T. Hausberger, Algèbre I (Groupes, corps et théorie de Galois), EDP Sciences (2008)
3. F. Liret, D. Martinais, Algèbre 1ère année, Dunod (2003)

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