Algèbre pour la géométrie et l'arithmétique - semestre d'automne 2012

Cours et travaux dirigés par Maria Carrizosa (carrizosa[at]math.univ-lyon1.fr) & Thomas Blossier (blossier[at]math.univ-lyon1.fr) Bur 239 Bâtiment Braconnier

  • Trois permanences avant le contrôle final : mercredi 19 décembre 2012, mardi 8 janvier et vendredi 11 janvier 2013 de 9h à 11h bur. 239

Programme du cours

1. Arithmétique

  • La division euclidienne dans Z : divisibilité, division euclidienne, pgcd, algorithme d'Euclide.
  • Sous-groupes additifs de Z et applications : sous-groupes, théorème de Bézout, lemme de Gauss.
  • Décomposition d'un entier en nombres premiers.
  • Arithmétique des congruences : congruence, les groupes quotients Z/nZ, indicatrice d'Euler, théorème des restes chinois.

2. Groupes

  • Groupes, sous-groupes, morphismes, isomorphismes.
  • Exemples (en cours-TD) : groupe des racines n-ième l'unicté; centre du groupe linéaire; groupe orthogonal en dimension 2; groupe des isométries du carré.
  • Groupe symétrique : décomposition en cycles à supports disjoints, ordre d'une permutation (cf fiche 3 cours-TD).
  • Théorème de Lagrange, sous-groupes distingués, groupes quotients, théorème d'isomorphisme de Noether.

3. Anneaux de polynômes / Anneaux euclidiens

  • Anneaux, corps, exemples, morphismes, caractéristique, anneaux intègres, corps de fractions.
  • Anneaux de polynômes : définition, degré, division euclidienne, racines, polynômes scindés, rappel du théorème de d'Alembert-Gauss, polynôme dérivé et racines multiples.
  • Anneaux euclidiens : définition, PGCD, algorithme d'Euclide, identité de Bézout, lemme de Gauss, irréductibles, anneaux factoriels.
  • Critères d'irréductibilité dans Z[X] et Q[X] : polynômes primitifs de Z[X], Z[X] est factoriel, critère d'Eisenstein, réductions modulo p.
  • Nombres constructibles (cf. Fiche 6)

Fiches de TD

Pour réviser

Contrôles continus

  • CC1 vendredi 19 octobre 2012 (45mn / 20 % note finale) (sujet)
  • CC2 vendredi 30 novembre 2012 (1h30 / 30 % note finale) (sujet)
  • 3 courtes interrogations durant le semestre (10 % note finale)

Contrôle final

  • contrôle final vendredi 18 janvier 2013 de 13h à 16h (40 % note finale) (sujet)

Références

  1. D. Guin, Algèbre (Tome 1 : Groupes et anneaux), Belin (1997)
  2. D. Guin, T. Hausberger, Algèbre I (Groupes, corps et théorie de Galois), EDP Sciences (2008)
  3. F. Liret, D. Martinais, Algèbre 1ère année, Dunod (2003)

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