Algèbre III - semestre d'automne 2010


Examen partiel :

lundi 8 novembre 2010, salle thémis 7, de 13h45 à 15h45
Programme : chapitres I,II,III,IV
sujet avec barême (.pdf), corrigé (.pdf)

Examen final :

JEUDI 20 JANVIER 2011, 13h45-15h45, amphi Astrée 13
documents interdits,
programme : tout ce qui a été vu en cours, en td et les parties 1,2,3 de la fiche de TP SAGE № 1

le sujet comportera une question sur les tp sage.
sujet avec barême provisoire (.pdf), corrigé (.pdf)
Consultation des copies : le mercredi 2 février de 10h à midi dans l'amphi Jussieu

Notes de cours (.pdf)


Coefficients :
khôlles : 0,3 (min-max)[1] ; partiel : 0,3 (ou 0,15) ; examen final : 0,4 (ou 0,55)
Quelques références : (par ordre croissant de difficulté) :
&mdash Joseph Grifone, Algèbre linéaire ;
&mdash Élie Azoulay, Jean Avignant, Mathématiques, tome 4, algèbre ;
&mdash Xavier Gourdon, Les maths en tête, Algèbre.

Emploi du temps :

&mdash cours : les lundis de 13h45 à 15h45 en thémis 7, 1er cours : lundi 13 septembre 2010 ; dernier cours : le lundi 13 décembre 2010

&mdash td : les vendredis de 8h15 à 11h30, 1ers td : le vendredi 24 septembre 2010 ; derniers td : le vendredi 10 décembre

&mdash groupe A : préfa B1, Ph. Caldero ;
&mdash groupe B : Darwin D78, Th. Eisenkoelbl ;
&mdash groupe C : Darwin D80, K. Iohara ;
&mdash groupe D : Grignard 25, S. Iosti.

&mdash tp sage : le vendredis 17/12, 7/1 et 14/1 de 8h15 à 11h30 ;

&mdash groupe A : le 17/12 en Lippmann 229, les 7/1 et 14/1 en Grignard F ;
&mdash groupe B : le 17/12 en Grignard D, les 7/1 et 14/1 en Grignard B ;
&mdash groupe C : le 17/12 en Lippmann 234, le 7/1 en Lippmann 235 et le 14/1 en Lippmann 230 ;
&mdash groupe D : le 17/12 en Lippmann 230, le 7/1 en Lippmann 238 et le 14/1 en Lippmann 234.


Pour les étudiants : votre groupe de td est indiqué sur tomuss.

Archives :
--- fiches de td de l'an dernier : fiche 1, fiche 2, fiche 3
--- fiches de tp : fiche 1, fiche 2, fiche 3

---sujets d'examens : archives jusqu'en 2008, archives 2009 et 2010

&mdash khôlles :les lundis de 16h à 18h, début des khôlles : le lundi 27 septembre 2010 ;
&mdash groupe K1 : Omega C2, C. Audiard (audiard[arroba]math.univ-lyon1.fr) (jusqu'au 8/11/10) ;
-------------------------- J. Deschamps (julien.deschamps[arroba]ens-lyon.fr) (à partir du 6/12/10);
&mdash groupe K2 : Thémis 43, R. Crétois (cretois[arroba]math.univ-lyon1.fr) ;
&mdash groupe K3 : Omega D1, É. Orquera-Pozzi (orquera[arroba]math.univ-lyon1.fr) ;
&mdash groupe K4 : Darwin B1, A. Tchoudjem (tchoudjem[arroba]math.univ-lyon1.fr) ;
&mdash groupe K5 : Omega D2, N. Bovetto (bovetto[arroba]math.univ-lyon1.fr) ;
&mdash groupe K6 : Déambu. s5, A. Blandignères (blandigneres[arroba]math.univ-lyon1.fr).

Les premières convocations aux khôlles sont sur tomuss ...
ATTENTION : les salles de khôlles sont celles indiquées ci-dessus et non celles qui sont sur le site ADE

Déroulement du cours :

Chapitre I : Rappels sur les matrices
multiplication de deux matrices, associativité du produit, image et noyau d'une matrice, théorème du rang, rang d'une matrice (13/9/10), transformations élémentaires sur les lignes et les colonnes, rang des lignes = rang des colonnes, si A matrice m x n, alors A injective &hArr rg A =n &hArr A inversible à gauche, A surjective &hArr rg A = m &hArr A inversible à droite, matrices d'un endomorphisme, formules de changement de bases (20/9/2010).
Chapitre II : Déterminant
déterminant 2 x 2, déterminant n x n, déterminant des matrices triangulaires supérieures (par blocs), développement par rapport à une ligne et une colonne, comatrice, inverse d'une matrice en fonction de la comatrice (27/9/10), déterminant d'un endomorphisme.
Chapitre III : Valeurs propres
Vecteurs propres, valeurs propres, polynôme caractéristique, trace, matrices compagnons, spectre = ens. des valeurs propres = ens. des racines du polynôme caractéristique (4/10/10), espaces propres, endomorphismes et matrices diagonalisables, multiplicités algébriques et géométriques, diagonalisable &hArr polynôme caractéristique scindé et ma = mg, endomorphismes et matrices trigonalisables(11/10/10), trace et déterminant en fonction des valeurs propres.
Chapitre IV : Polynômes d'endomorphismes
1) définition de P(u) et P(A) pour un polynôme P, un endomorphisme u et une matrice A. 2) Théorème de Cayley-Hamilton. 3) Polynôme minimal : définition : mu, mA, calcul, diagonalisable &hArr mu scindé à racines simples (18/10/10).
Chapitre V : Décomposition spectrale
0) lemme des noyaux 1) sous-espaces caractéristiques, E = &oplusi E λi , multiplicités des valeurs propres dans le polynôme caractéristique et dans le minimal (25/10/10) 2) projecteurs spectraux 3) Décomposition de Dunford-Jordan (existence-unicité) 4) Blocs de Jordan, matrices de Jordan (définition) (15/11/10) 5) réduction de Jordan des matrices nilpotentes, forme de Jordan des matrices quelconques : existence et unicité.
Chapitre VI : Puissances de matrices
Comment calculer des puissances de matrices avec les projecteurs spectraux : cas diagonalisable, cas général (22/11/10)
Chapitre VII : Exponentielle de matrices
Définition comme série, méthode de calcul dans le cas diagonalisable puis dans le cas général avec les projecteurs spectraux, exemples, applications : résolution des systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants (29/11/10), résolution de Y'=AY+B, et de y(p)+a_1y(p-1)+...+a_p y =0
.
.
Chapitre VIII : Facteurs invariants
1) réduction des matrices à coefficients entiers, facteurs invariants(6/12/10) 2) facteurs invariants d'une matrice : P_1,...,P_r, deux matrices sont semblables ssi elles ont les mêmes facteurs invariants, réduction de Frobenius (diagonale de blocs de matrics compagnons, endomorphismes cycliques, dimension du sous-espaces des endomorphismes qui commutent à un endomorphisme donné. Fin ducours (13/12/10).

[1] règle du min-max : pour les notes de khôlles, on ne tient pas compte de la note maximale ni de la note minimale et on fait la moyenne des 2 notes restantes

Programme des khôlles

lundi 27/9/10 : multiplication des matrices, rang d'une matrice, matrices d'un endomorphisme, formules de changement de bases
lundi 4/10/10 : formules de changement de base, rang d'une matrice, matrices d'un endomorphisme, déterminant, comatrice
lundi 11/10/10 : déterminant, comatrice, vecteurs propres, valeurs propres, polynôme caractéristique, matrices-compagnons.
lundi 18/10/10 : vecteurs propres, valeurs propres, espaces propres, polynôme caractéristique, endomorphismes et matrices diagonalisables, multiplicités géométriques et algébriques des valeurs propres.
lundi 25/10/10 : vecteurs propres, valeurs propres, espaces propres, polynôme caractéristique, endomorphismes et matrices diagonalisables, multiplicités géométriques et algébriques des valeurs propres, polynôme minimal, critères de diagonalisabilité.
lundi 8/11/10 : vecteurs propres, valeurs propres, espaces propres, polynôme caractéristique, endomorphismes et matrices diagonalisables, multiplicités géométriques et algébriques des valeurs propres, polynôme minimal, critères de diagonalisabilité, lemme des noyaux, sous-espaces caractéristiques.
lundi 15/11/10 : vecteurs propres, valeurs propres, espaces propres, polynôme caractéristique, endomorphismes et matrices diagonalisables, multiplicités géométriques et algébriques des valeurs propres, polynôme minimal, critères de diagonalisabilité, lemme des noyaux, sous-espaces caractéristiques.
lundi 22/11/10 : polynôme caractéristique, endomorphismes et matrices diagonalisables, multiplicités géométriques et algébriques des valeurs propres, polynôme minimal, critères de diagonalisabilité, lemme des noyaux, sous-espaces caractéristiques, projecteurs spectraux, décomposition de Dunford-Jordan.
lundi 29/11/10 : polynôme caractéristique, endomorphismes et matrices diagonalisables, multiplicités géométriques et algébriques des valeurs propres, polynôme minimal, critères de diagonalisabilité, lemme des noyaux, sous-espaces caractéristiques, projecteurs spectraux, décomposition de Dunford-Jordan, calculs de puissances de matrices.
lundi 6/12/10 : sous-espaces caractéristiques, projecteurs spectraux, décomposition de Dunford-Jordan, calculs de puissances de matrices, calculs d'exponentielles de matrices, résolutions de systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants (homogènes) Y'=AY.
lundi 13/12/10 : sous-espaces caractéristiques, projecteurs spectraux, décomposition de Dunford-Jordan, calculs de puissances de matrices, calculs d'exponentielles de matrices, résolutions de systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants (homogènes) Y'=AY, résolution de Y'=AY+B et de y(p)+a_1y(p-1)+...+a_p y =0.
lundi 3/1/11 : sous-espaces caractéristiques, projecteurs spectraux, décomposition de Dunford-Jordan, calculs de puissances de matrices, calculs d'exponentielles de matrices, résolutions de systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants (homogènes) Y'=AY, résolution de Y'=AY+B et de y(p)+a_1y(p-1)+...+a_p y =0, matrices compagnons.
lundi 10/1/11 : sous-espaces caractéristiques, projecteurs spectraux, décomposition de Dunford-Jordan, calculs de puissances de matrices, calculs d'exponentielles de matrices, résolutions de systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants (homogènes) Y'=AY, résolution de Y'=AY+B et de y(p)+a_1y(p-1)+...+a_p y =0, matrices compagnons.

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